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前言 第一版前言 [[2024-09-14]] 今天补考终于结束了，听说正考直接放原卷，这几天刷了三套网上得来的“西电原卷”（21 年和两套 23 年）。上午刷的 21 年题，下午 $\frac{1}{4}$ 是一个字不改的原题，我都看笑了。 戴浩当年说尽力给钱班找最好的老师，现在看来数统院没人了？讲课不行可以说是重心不在教学、天赋不在教书；出套卷子直接搬旧题，还是近几年的，题也没审错漏百出，给我气笑了。 自己出的卷子毫无含金量，自己也不做做看。这是态度问题。 你电期末考试放水挺好的，但不要总是拿老本糊弄人。对学生大谈创新，对自己能混就行。这不是做学术的态度，更不是教书应有的态度。 概率论就此告一段落，这两天反复看笔记刷题订正不少错误，也明晰了这门课的知识结构。虽然内容仍然偏少，但作为期末复习的材料大抵足够，这版就作为终版吧（大概）。 中秋继续整理电动力学和数字信号处理。 第二版前言 Nothing is final!!! ——钱学森 补充了分布函数左右连续问题，看来这门课离 final 还有很远…… 事件运算转逻辑运算 $A \cup B=A+B$ $A \cap B=A \cdot B$ $A-B=A \bar{B}$ $A$ 事件发生 $B$ 事件不发生，由韦恩图易证。 可以将 $-B$ 理解为 $\cdot (-B)$ ，$-B$ 即为 $\bar{B}$ 若 $A \subset B$ ，$A \cup B=B,A \cap B=A$ 事件运算转逻辑运算后，大部分法则共通。 运用数电中学到的逻辑函数运算与化简，可将复杂事件运算化简。 Tips：卡诺图 四大事件概率公式 $$ \begin{cases} P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A \bar{B})\\ P(AB)=P(B) \cdot P(A|B)=P(A) \cdot P(B|A)\\ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\\ \end{cases} $$ 推论 $P(A+B+C)$ ，将 $A+B$ 看成一个事件，运用上面的加法公式，两次拆分得到： $$ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) $$ 更多和事件概率可依此递推得到。 对立事件：$A$ 不发生的概率，韦恩图一目了然。 $$ P(\bar{A})=P(1 \cdot \bar{A})=P(1-A)=P(1)-P(1 \cdot A)=1-P(A) $$ 非负性与规范性 非负性：对于任意事件 $A$ ，$0 \le P(A) \le 1$ 。 规范性：对于总事件 $\Omega$ ，$P(\Omega)=1$ 。 相互独立 $$ \begin{cases} P(AB)=P(A) \cdot P(B)\\ P(A|B)=P(A) \end{cases} $$ 独立必相互独立。 古典概型 各基本事件发生概率相等。 Eg. 抛硬币，掷骰子…… $$ P(A)=\frac{A包含基本事件数}{\Omega 中基本事件数} $$ 古典条件概率公式 $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{同时在A,B中的基本事件数}{A包含基本事件数} $$ 伯努利概型（二项分布） $n$ 次独立实验，每次实验只有 $A,\bar{A}$ 两种结果。 $X \sim B(n,p)$ $$ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} $$ 其中，$p=P(A),1-p=P(\bar{A})$ 几何概型 事件 所占线/面/体积 部分与整个 线/面/体 的 长度/面积/体积 比值。 当事件所占空间维度低于总事件空间 $\Omega$ 维度时，该事件概率恒为 0 。 ==Warning==：事件概率为 0 不代表一定不发生。 Eg：随机选中圆内某点，选中任意点概率为 0，但都可能发生。 均匀分布 $x \sim U(a,b)$ 近似为几何分布中的线性分布，各点处概率密度： $$ f(x)= \begin{cases} 0,x \le a\\ \frac{1}{b-a},a < x \le b\\ 0,x>b\\ \end{cases} $$ 分布函数： $$ F(x)= \begin{cases} 0,x \le a\\ \frac{x-a}{b-a},a<x \le b\\ 1,x>b\\ \end{cases} $$ 指数分布 $x \sim E(\lambda)$ 概率密度 $$ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x \le 0\\ \end{cases} $$ 分布函数 $$ F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x},x \ge 0\\ 0,x<0\\ \end{cases} $$ 泊松分布 $X \sim \pi(\lambda)$ $$ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} $$ 正态分布 $x \sim N(\mu,\sigma^2)$ 概率密度 $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},x \in R,\sigma>0 $$ 分布函数 $$ F(x)=\int^{x}_{-\infty}f(t)dt $$ 显然，$F(\mu)=\frac{1}{2}$ ，即 $P(x \le \mu)=P(x>\mu)=\frac{1}{2}$ 。 标准正态分布 当 $\mu=0,\sigma=1$ 时，此分布为标准正态分布。 $$ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} $$ $$ \varPhi(x)=\int^{x}_{-\infty}\varphi(t)dt $$ 推论 $$ \varPhi(-x)=1-\varPhi(x) $$ $$ F(x)=\varPhi(\frac{x-\mu}{\sigma}) $$ 正态分布标准化： $$ X \sim N(\mu,\sigma^2),Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) $$ 全概率公式 完备事件组 $$ \begin{cases} B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup \cdots \cup B_n=\Omega\\ B_i \cap B_j=\varnothing,i \ne j,1 \le i \le n,1 \le j \le n\\ \end{cases} $$ 称 $B_1,B_2,B_3,\cdots B_n$ 构成 $\Omega$ 的一个完备事件组。 全概率公式 $$ \begin{align} P(A) &=P(AB_1 \cup AB_2 \cup \cdots \cup AB_n)\\ &=P(AB_1)+P(AB_2)+\cdots +P(AB_n)\\ &=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+\cdots +P(B_n)P(A|B_n)\\ \end{align} $$ 贝叶斯公式 $$ P(B_1|A)=\frac{P(AB_1)}{P(A)}=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)} $$ 一维离散型随机变量 分布律 $$ P(X=x_i)=p_i=\frac{X=x_i情况数}{总情况数},i=1,2,\cdots $$ 分布函数 $$ F(x)=\sum_{x_i<x}p_i,x \in R $$ 一维连续型随机变量 概率密度 $$ f(x)=F'(x) $$ 分布函数 $$ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt $$ 区间概率 $$ P(a<x \le b)=\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) $$ $\because$ $P(x=a)=0,a \in R$ $\therefore$ 区间两边等号随意取 规范性 $$ F(\infty)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x)dx=1 $$ $$ F(-\infty)=0 $$ 二维离散型随机变量 联合分布律 $P(X=x_i,Y=y_j)$ 将 X，Y 可能取值列二维表，填入对应概率。 边缘分布律 $P(X=x_i),P(Y=y_j)$ 将联合分布律的行/列相加，得到 $f_Y(x),f_X(y)$ 条件分布 $P(X=x_i|Y=y_j),P(Y=y_i|X=x_j)$ 联合分布率每行/列除以该行/列对应的边缘分布律。 即每行/列的联合分布率化为成比例项，各项和为 1。 两变量独立性 ==此处的独立性指的是线性无关，不代表完全独立无关。== 将联合分布表写成矩阵 $\vec{A}$ ，当 $\det \vec{A}=0$ 时 X 与 Y 独立。 Or：联合分布表各行/列成比例时 X 与 Y 独立。 Or：联合分布率 $\ne$ 边缘分布率乘积，即 $P(X=x_i,Y=y_j)\ne P(X=x_i)P(Y=y_j)$ 时，X 与 Y 不相互独立。 二位连续性随机变量 联合密度函数 $$ f(x,y) $$ 规范性 $$ \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1 $$ 边缘密度函数 $$ f_X(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x,y)dy $$ $$ f_Y(y)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x,y)dx $$ 条件密度 $$ f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} $$ 独立性 $$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$ 满足以上条件时，X 与 Y 相互独立。 分布函数 设 $Z=X-Y$ ， $$ \begin{align} F_Z(z) &=P(Z<z)\\ &=P(X-Y<z)\\ &=P(X<Y+z)\\ &=\int^{y}_{-\infty}\int^{y+z}_{-\infty}f(x,y)dxdy\\ \end{align} $$ 即分布函数 $F_Z(z)=\iint_Df(x,y)dxdy$ 。由分布函数求导得概率密度函数 $f_Z(z)$ 。 ==Warning==：$F_Z(z)$ 满足规范性。 期望与方差 关系式 $$ DX=EX^2-(EX)^2 $$ $$ D(cX)=c^2DX $$ $$ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) $$ X 与 Y 相互独立时 $Cov(X,Y)=0$ 。 常见期望与方差 $(0,1)$ 分布 $$ EX=p,DX=p(1-p) $$ $B(n,p)$ 二项分布 $$ EX=np,DX=np(1-p) $$ $U(a,b)$ 均匀分布 $$ EX=\frac{a+b}{2},DX=\frac{(b-a)^2}{12} $$ $E(\lambda)$ 指数分布 $$ EX=\frac{1}{\lambda},DX=\frac{1}{\lambda^2} $$ $P(\lambda)$ 泊松分布 $$ EX=\lambda,DX=\lambda $$ $N(\mu,\sigma^2)$ 正态分布 $$ EX=\mu,DX=\sigma^2 $$ 协方差与相关系数 协方差 $$ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) $$ 显然，$X=Y$ 时，$Cov(X,X)=DX$ 。 $$ Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) $$ $$ Cov(X-Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(-Y,Z)=Cov(X,Z)-Cov(Y,Z) $$ 相关系数 $$ \rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX \cdot DY}} $$ $|\rho|$ 越大，相关性越强。 $Y=X$ 时，$X$ 与 $X$ 相关性最强，得到 $\rho=1$ 。 $Y=-X$ 时，$-X$ 与 $X$ 相关性最强，得到 $\rho=-1$ 。 显然 $|\rho| \le 1$ 。 $\rho=0$ 时 $X$ 与 $Y$ 不相关。 ==Warning==：不相关 $\nRightarrow$ 独立，独立 $\Rightarrow$ 不相关。 切比雪夫不等式估计概率 $$ P(|X-EX|\ge \varepsilon)\le \frac{DX}{\varepsilon^2} $$ 中心极限定理 大量独立变量同分布，可近似为正态分布。 若 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 独立且同分布，则 $$ \sum_{i=1}^nx_i \sim N(\sum^{n}_{i=1}E(x_i),\sum^{n}_{i=1}D(x_i)) $$ 三大分布 $\chi^2$ （卡方）分布 $$ X=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2 \sim \chi^2(n),x_i \sim N(0,1)且相互独立 $$ 上 $\alpha$ 分位点 $\chi^2_\alpha(n)$ 密度函数在第一象限 $t$ 分布 $$ X=\frac{x_1}{\sqrt{x_2/n}}\sim t(n),x_1 \sim N(0,1),x_2 \sim \chi^2(n),x_1与x_2相互独立 $$ 上 $\alpha$ 分位点 $t_\alpha(n)$ 密度函数形似正态分布，左右对称 $F$ 分布 $$ X=\frac{x_1/n_1}{x_2/n_2} \sim F(n_1,n_2),x_1 \sim \chi^2(n_1),x_2 \sim \chi^2(n_2),x_1与x_2相互独立 $$ 上 $\alpha$ 分位点 $F_\alpha(n_1,n_2)$ 密度函数在第一象限 估计法 简单随机样本相互独立且同分布时，估计未知参数。 矩估计法 样本量较大时，将样本近似为平均分布，样本均值替代总体均值（总体矩=样本矩）。 根据所给分布律/密度函数求出期望 $EX$ （一阶总体矩） 根据所给样本求样本均值 $\bar{X}$ （一阶样本矩） 令 $EX=\bar{X}$ 解出 $\theta_0$ 即为 $\hat{\theta}$ 最大似然估计法 估计值使得样本发生概率最大。 样本似然函数： $$ L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta)= \begin{cases} P(X=x_1)P(X=x_2)\cdots P(X=x_n),离散型\\ f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)\cdots f(x_n;\theta),连续型\\ \end{cases} $$ 求 $L$ 最大值，即求导得其驻点。因连乘求导繁琐，先将其化为对数形式后对未知参数 $\theta$ 求导。 $$ (\ln L)'= \begin{cases} (\ln P_1+\ln P_2+\cdots +\ln P_n)',离散型\\ [\ln f(x_1;\theta)+\ln f(x_2;\theta)+\cdots +\ln f(x_n;\theta)]',连续型\\ \end{cases} =0 $$ 解出驻点 $\theta_0$ ，即为估计值 $\hat{\theta}$ 。 无偏性与有效性 若 $E(\hat{\theta})=\theta$ ，则称 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计。 若 $\hat{\theta_1},\hat{\theta_2}$ 均为无偏估计，且 $D(\hat{\theta_1})<\hat{\theta_2}$ ，则称 $\hat{\theta_1}$ 比 $\hat{\theta_2}$ 更有效。 区间估计 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ，通常将给定的 $\bar{X}=\mu,S=\sigma$ 。 置信度：$1-\alpha$ ，通常 $\alpha=5\%$ 。 求 $\mu$ 置信区间 $\sigma^2$ 已知 枢轴量（标准化）： $$ \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) $$ $$ \mu \in (\bar{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{\frac{\alpha}{2}},\bar{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{\frac{\alpha}{2}}) $$ $\sigma^2$ 未知 枢轴量： $$ \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) $$ $$ \mu \in (\bar{x}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\bar{x}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)) $$ 求 $\sigma^2$ 置信区间 通常 $\mu$ 未知。 枢轴量： $$ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) $$ $$ \sigma^2 \in (\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}) $$ 假设检验 一般取 $\alpha=5\%$ $\mu$ 检验 提出假设 $H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu \ne \mu_0$ 选择检验统计量（枢轴量） $\sigma^2$ 已知，选择 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ ，为 U 检验 $\sigma^2$ 未知，选择 $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ ，为 T 检验 根据选择的枢轴量求得拒绝域 $W=(-\infty,-\mu_{\frac{\alpha}{2}})\cup (\mu_{\frac{\alpha}{2}},\infty)$ $W=(-\infty,-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))\cup (t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\infty)$ 若根据 $\bar{X}$ 计算所得枢轴量在 $W$ 内，假设 $H_0$ 不成立。 $\sigma^2$ 检验 $$ S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{X})} $$ 提出假设 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,H_1:\sigma^2 \ne \sigma_0^2$ 选择检验统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$ ，为$\chi^2$ 检验 求得拒绝域 $W=(0,\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)) \cup (\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\infty)$ 若根据 $S$ 计算所得枢轴量在 $W$ 内，假设 $H_0$ 不成立。 补充 分布函数 对于连续型随机变量，分布函数连续。 对于离散型随机变量，由于不同教材对分布函数定义不同，有左连续或右连续情况。 左连续 $$ F(x)=P(X<x) $$ 在此定义下 $$ F(x)=F(x^-)=F(x-0)=P(X<x) $$ $$ F(x^+)=F(x+0)=P(X<x)+P(X=x) $$ 当 $P(X=x)\ne 0$ 时，显然 $F(x^+)>F(x)=F(x^-)$ ，此时分布函数左连续而右不连续。 右连续 $$ F(x)=P(X \le x) $$ 在此定义下 $$ F(x)=F(x^+)=F(x+0)=P(X \le x) $$ $$ F(x^-)=F(x-0)=P(X \le x)-P(X=x) $$ 当 $P(X=x)\ne 0$ 时，显然 $F(x^+)=F(x)>F(x^-)$ ，此时分布函数右连续而左不连续。 抛硬币举例 抛一次硬币，正面计 1，反面计 0 。 X 是一维离散型随机变量 $$ \begin{cases} P(x=0)=0.5\\ P(x=1)=0.5\\ P(x=others)=0\\ \end{cases} $$ 由此得 $$ \begin{cases} P(x<0)=0\\ P(0 \le x < 1)=0.5\\ P(x \ge 1)=1\\ \end{cases} $$ 当设分布函数为 $F(x)=P(X<x)$ 时， $$ F(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0\\ 0.5, & 0 < x \le 1\\ 1, & x>1\\ \end{cases} $$ $F(0^-)=F(0)=0$，$F(0^+)=0.5$，$x=0$ 是间断点，左连续而右不连续。
前言 俗话说的好，美化的尽头是默认。 虽然默认的 Windows 已经能高效地胜任各项工作，但它确实 ugly 啊。 在拥有一台性能过剩 PC 的情况下，适度追求美化和简化，满足本私斋的高端审美是极有必要的（） 下面来说说我在用/用过的美化软件/方案。 当前桌面方案 TranslucentTB：任务栏透明/亚克力效果 Sapphire：桌面图标交互优化 Wallpaper Engine：为减少 GPU 消耗和内存占用，只选了 Blue Archive 中 Noa 的记忆大厅作为壁纸，几秒的 4 K 视频，整个 Wallpaper 内存占用约 100 Mb。 Rainmeter：只用了一个音频条作为美化，因为 Noa 已经够美了😋 原来用过查看硬件信息的组件，发现除了增加焦虑外没什么用，遂放弃。 QQ 美化、网易云音乐美化、光标美化、Obsidian 主题、插件安排上。再加上 Edge 浏览器的 iTab 标签页和各类实用插件，目前的工作流完全舒适。 贴几张图 在以上正常工作流下，内存占大头的是浏览器，GPU 消耗主要来自 wallpaper，从登录到完全自启动耗时 10s 内，均在可接受负载范围内。 配置： 12400 F 7700 XT 32G DDR4 2K 180Hz HDR显示器 Windows 11 专业版 23H2 QQ 美化 ==特别推荐！== QQ 是大部分中国人不得不用又恨之入骨的东西——广告、弹窗、不想看的娱乐页面、花里胡哨功能性差的界面。 Windows 端自从推出 QQ 9，上述情况改善了不少，然而恶心人的东西最近逐渐加回来了，只能说本性难移。 为了不被迫在这个常用软件上天天吃屎，伟大的具有开源精神和折腾精神的中文互联网人纷纷投入 QQ 改造计划，而今天我要介绍的就是其中一个伟大项目——LiteLoaderQQNT。 好了说正事，liteloader 是 QQNT 的插件平台，安装后可以下载众多插件。 GitHub 项目地址：LiteLoaderQQNT: QQNT 插件加载器：轻量 · 简洁 · 开源 · 福瑞 部分推荐插件如下： PluginInstaller：LiteLoaderQQNT 插件安装器，可检查更新和一键安装/重启。先安装这个再安装其他插件省事很多。 LL-plugin-list-viewer: LiteLoaderQQNT Plugin 插件列表查看·安装·更新。收录了大部分插件，可直达 GitHub 项目地址。安装功能存在问题，部分插件需要手动安装和更新，否则会报错无法启动 QQ，建议作为插件/主题查看器。 轻量工具箱 —— 轻量 · 优雅 · 高效 · 福瑞：聚合了大量功能的工具箱，免于四处寻找插件。部分可选功能如下： 美化聊天界面实现类 tg 效果（显示头像，加时间戳，消息靠左等） 移除称号、VIP 、推荐标签等乱七八糟的东西。 右键快捷搜索文字/图片，消息转图片发送 选项高亮，特殊消息高亮 小程序分享转 URL 卡片，记录离开时位置，快捷+1（复读机） 消息预览：根据消息中第一个链接生成一张类 tg 的预览卡片 本地表情 消息后缀 撤回消息缓存并高亮 设置背景，调整亮度、透明度，可加磨砂等效果 精简侧边栏，所有功能可开关 输入框、消息框功能开关 …… 二维码解析：对 QQNT 聊天中的图片进行二维码解析 使用自定义浏览器打开链接并跳过拦截页 将 DeepL 翻译接入你的 QQNT Markdown：为 QQ 添加 Markdown 渲染支持。发出的消息只有安装了该插件的 QQNT 能渲染 markdown，所以大部分情况下没用。 Kill-Update：关闭 QQ自动更新弹窗，有些插件不会第一时间支持最新版 QQ，所以禁止更新是有用的。 window-on-top：让窗口有置顶功能 还有一些主题我没有介绍，因为去除垃圾之后部分美化的 QQNT 已经很好看了。 另外 ChatGPT 等 AI 接入插件也有，懒得折腾 API（没钱）。 网易云音乐美化 ==特别推荐！== 众所周知，国内几大音乐平台巨头都在走复杂化、流量化路线，今天加一个社区，明天加一个短视频，长期 VIP 跳脸。 作为听音乐的软件，有几项基本功能就够了。国内外都有很多做得好的音乐播放器，但“播放器”和“音乐平台”之间还是有很多差距的。比如便捷搜索歌曲，查看评论，一起听等。建立歌单、关注歌手、充值购买等沉没成本也迫使用户继续吃屎。 我一直用的网易云音乐有一群伟大的互联网人做了插件，美化后确实美观好用。 首先是插件平台 betterncm 官网：MicroBlock | BetterNCM GitHub 项目地址：GitHub - MicroCBer/BetterNCM: NCM 软件插件管理器 社区：关于 BetterNCM 最全面的介绍以及疑难解答 - 飞书云文档 优点是安装 betterncm 后，所有的主题、插件可以从网易云内平台下载、更新，不用一个个去查找翻 GitHub。 推荐主题： Materia You：比较简洁的主题，纯色背景没有背景图片。配色方案多样。 推荐插件： RoundCornerNCM：网易云音乐窗口圆角，仅 Windows 11。 MikuPlugin：管理各元素是否显示，可以关闭恼人的视频、直播等元素。 类苹果歌词：将歌曲页面改为类 Apple Music 的样式，还可更改歌词源。 这首歌的封面是什么？：歌曲列表添加封面，增加储存占用，易造成卡顿 RuLyrics：桌面歌词插件，支持逐词，主副歌词，更改字体，分别更改前景色（已唱）、背景色（未唱），支持嵌入任务栏（与 TranslucentTB 同时使用似乎有点问题） 更多好用插件自行探索下载 部分插件对其他插件有依赖、冲突，注意在 GitHub Issues 查看甄别。 Wallpaper Engine ==必备好物！== 鼎鼎大名的万能小红车，开启××√享受崭新人生（bushi） 作为最常用最好用的壁纸软件，wallpaper 有许多优点： 资源丰富。steam 创意工坊每时每刻都有大量优质壁纸上架，且几乎全部免费下载使用。 资源种类多。视频、图片、动图、网页……壁纸种类极多，且不少壁纸功能丰富，聚合了音乐歌词、特效、频谱等功能，一键装点桌面。 找资源方便。Wallpaper 搜索和筛选规则完善丰富，可筛选壁纸分辨率、类型、适用年龄等。 使用简便。基于 steam 创意工坊，能访问 steam 就能下载壁纸，无需翻墙，下载速度有保障。大部分壁纸，即使功能复杂，在 wallpaper 界面也能轻松设置。 串联手机。Wallpaper 推出了安卓应用，可通过 PC 向手机传输使用壁纸。 Warning：部分复杂特效网页、高清视频壁纸较为消耗 GPU 性能，占显存较多。可以在 wallpaper 设置里调整帧率、特效和应用行为等改善。 唯一的缺点是在 steam 购买 wallpaper 需要 19 RMB，不过这价格真不高吧。 Steam：Steam 上的 Wallpaper Engine：壁纸引擎 TranslucentTB ==特别推荐！== 任务栏透明工具，可以全透、亚克力、不透，换主题色等。 占用内存、储存极小，几乎不消耗 CPU 性能。 GitHub 项目地址：GitHub - TranslucentTB GitHub 中文翻译项目地址：GitHub - kasuganosoras/TranslucentTB-CN Rainmeter ==特别推荐！== 久负盛名的桌面组件工具，可以自制功能多样的小部件放在桌面，也可以方便地导入他人制作的部件（即皮肤）。 常见的功能有： 显示 CPU、GPU、内存等硬件信息（实时更新） 音频识别生成各式各样的律动频谱条 媒体播放器 一键追番、查看新番 放置图片、轮播图库等 …… 缺点 组件放多了会卡 部分组件资源消耗大 选择太多了需要折腾 官网：Rainmeter 中国官网：个人分享 Rainmeter GitHub 项目地址：GitHub - rainmeter 中国社区：雨滴美化社区 Start 11 任务栏及开始菜单美化工具 可以将开始菜单改为 Windows 7-11 的风格，可改变颜色、透明度、间距、对齐方式等。 高级索引功能：与 Edge 浏览器配对时，打开的选项卡也会显示在搜索内容中，最常用的内容在结果中的显示位置会更高。移除本地搜索结果旁边显示的 Web 内容的选项！ 更改开始按钮图标，开始菜单背景图，任务栏颜色、纹理。 缺点 付费 我用起来有卡顿、启动慢等现象。 和 TranslucentTB 不兼容。 官网终身版售价 35 RMB，小贵，30 天免费试用。有许多代理，存在学习版（不推荐）。 官网：Start11 中国官网： Start 11 Steam（褒贬不一）：Steam 上的 Start11 v2 枫の美化工具箱 文件资源管理器、开始菜单、全局窗口美化工具 目前拥有的功能： 主页面：自定义文件资源管理器窗口字体、局部颜色模式 Light、Dark (实验性局部Dark模式存在小的视觉bug) 背景设置：自定义文件资源管理器、开始菜单、系统设置的背景图片 颜色设置：自定义文件资源管理器配色(标题、组、页眉、详细信息、硬盘进度条)、圆角化硬盘进度条 图标设置：自定义桌面、文件资源管理器图标组图标 窗口设置：自定义文件资源管理器窗口背景效果半透明、Blur、Acrylic、Mica效果 win11圆角类型、开始菜单、系统设置Acrylic背景效果 控件样式：自定义全局窗口标题栏按钮样式、macOS样式按钮、文件资源管理器Tab标签页、工具栏、地址栏配色、自绘圆角滚动条 预设列表：保存、导入、分享你的配置文件 插件列表：安装插件增强和扩展工具箱的功能 Evaluations： 还算是简单易用，内存和 GPU 占用尚可接受。 可装插件和导入配置文件，有一定可玩性。 不兼容 TranslucentTB 我用起来文件资源管理器常崩溃、不显示背景图片、工具栏配色未更改，可能已经优化稳定了。 背景图片清晰度不高，在 dark 模式下背景图片容易干扰正常阅读文件信息 软件免费，不完全开源，需要注册登录账号。 发布地址：win美化工具箱 ★ 枫の主题社 Sapphire ==特别推荐！== 桌面图标、布局美化，更改交互体验。 可调整桌面图标布局，更改横纵网格数 放置格子（类手机上的文件夹），将桌面各类文件直接放进文件夹，分类同一管理 调整图标、格子大小（网格数整数倍），圆角，背景，透明度 更改文件名的字体 精简模式去除文件名，可每个图标单独设置 可设置交互动效 Dock 栏，类 Mac/手机下方的 dock，可竖置，改变长宽、背景色 开启文件夹高级交互后可以文件夹鼠标悬停预览内容，单击原地展开，不必开文件资源管理器窗口。 针对 steam 内应用的快捷方式优化 双击隐藏图标，每个可单独设置是否隐藏。 后台内存占用 100 mb 左右，尚可接受。几乎不消耗 GPU 可自定义图片、动图作为壁纸。初步兼容 WallpaperEngine（需在设置中设置当其他程序成为焦点时为始终运行）。 多屏支持 缺点： 我的电脑开启高级文件交互后，只要文件夹内文件数稍多，sapphire 会直接卡死。观望作者更新。 暂时还没有保存桌面布局的功能，好在即使卡退也会记录最新布局。 只保证兼容 Windows 11 更改桌面右键交互但目前还不能自定义 GitHub 项目地址：Sapphire-EnhancedDesktop: Windows桌面取代软件 光标美化 网上有很多分享光标美化文件的，根据个人喜好挑选。安装也不难。 分享两款，不影响视野同时具有个性化设计的： 原神纳西妲光标：纳西妲同款鼠标光标4.0版来咯_原神 蔚蓝档案千年光标，简约可爱，在用。 GitHub项目地址：BlueArchive-Cursors
数字信号处理基本概念 信号分类 连续信号：即模拟信号，时域连续信号。 时域离散信号：幅度取值连续，时间取值离散。 幅度离散信号：幅度取值离散，时间取值连续。 数字信号：幅度和时间都取离散值。 区别 时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差。 数字信号处理实现方法 数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。 软件实现 按原理和算法，编写程序在通用计算机实现。 优点：灵活 缺点：运算速度慢，难以达到实时处理效果。 适合算法研究和仿真。 硬件实现 按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法器、延时器、控制器、存储器以及输人输出接口等基本部件实现。 优点：运算速度快，可实时处理 缺点：不灵活 硬件实现指的是选用合适的 DSP 芯片，配有适合芯片语言及任务要求的软件，实现某种信号处理功能的一种方法。 专用芯片 采用专用的 数字信号处理芯片（DSP 芯片） 是目前发展最快、应用最广的一种方法。因为 DSP 芯片比通用单片机有更为突出的优点，它结合了数字信号处理的特点，内部配有乘法器和累加器，结构上采用了流水线工作方式以及并行结构、多总线，且配有适合数字信号处理的指令，是一类可实现高速运算的微处理器。 对于更高速的实时系统，DSP 的速度也不满足要求时，应采用可编程超大规模器件（FPGA）或开发专用芯片来实现。 数字信号处理特点 相比于模拟信号处理，数字信号处理具有以下特点： 灵活性 高精度和高稳定性 便于大规模集成 可以实现模拟系统无法实现的诸多功能，如储存、复杂变换和运算。 信号维度 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。 如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。 时域离散信号与系统 时域离散信号 实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。 模拟信号 $x_a(t)$ ，离散时间点 $t_n$ 。 均匀采样（等间隔采样）时，采样间隔 $T$ ，$t_n=nT$ $$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT),- \infty<n<\infty $$ $x(n)$ 称为时域离散信号，$n$ 取整数，得到序列 $$ x(n)=\{\cdots ,x_a(-2T),x_a(-T),x_a(0),x_a(T),x_a(2T),\cdots \} $$ 时域离散信号也称序列。 序列表示方法 集合符号 数的集合用集合符号 $\{\cdot \}$ 表示，时域离散信号可表示为有序的数的集合。 集合中有下划线的元素表示 $n=0$ 时刻的采样值。 公式表示 Example: $$ x(n)=a^{|n|},0<a<1,-\infty<n<\infty $$ 图形表示 横坐标为 $n$ ，纵坐标为 $x$ 的值，竖线顶端加黑点。 常用典型序列 单位脉冲序列 $\delta(n)$ $$ \delta(n)= \begin{cases} 1 & n=0\\ 0 & n \ne 0\\ \end{cases} $$ 也称单位采样序列，不同于单位冲激信号 $\delta(t)$ 。 单位阶跃序列 $u(n)$ $$ u(n)= \begin{cases} 1 & n \ge 0\\ 0 & n < 0\\ \end{cases} $$ $$ \delta(n)=u(n)-u(n-1) $$ $$ u(n)=\sum^{\infty}_{k=0}\delta(n-k) $$ 矩形序列 $R_N(n)$ $$ R_N(n)= \begin{cases} 1 & 0 \le n \le N-1\\ 0 & Others \end{cases} $$ $N$ 称为矩形序列长度，矩形序列可用单位阶跃序列表示。 $$ R_N(n)=u(n)-u(n-N) $$ 实指数序列 $$ x(n)=a^n u(n),a 为实数 $$ $|a|<1$ 时称 $x(n)$ 为收敛序列 $|a|>1$ 时称 $x(n)$ 为发散序列 正弦序列 $$ x(n)=\sin (\omega n) $$ $\omega$ 称为正弦序列的数字域频率（数字频率），单位为弧度 $rad$ ，表示序列变化速率（相邻两个序列值之间相位变化的弧度数）。 模拟角频率 $\varOmega$，若正弦序列由模拟信号 $x_a(t)=\sin (\varOmega t)$ 采样得到 $$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=\sin (\varOmega nT)=\sin (\omega n) $$ 则得到数字频率与模拟角频率的关系 $$ \omega=\varOmega T $$ 采样频率 $F_s=\frac{1}{T}$ ，因此 $$ \omega=\frac{\varOmega}{F_s} $$ 数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。 复指数序列 $$ x(n)=e^{(\sigma+j \omega_0)n}=\cos(\omega_0 n)+j \sin(\omega_0 n) $$ 因为 $n$ 取整数，所以正弦序列和复指数序列都以 $2 \pi$ 为周期。 周期序列 如果对所有 $n$ 存在一个最小的正整数 $N$，使下面等式成立： $$ x(n)=x(n+N),-\infty<n<\infty $$ 则称序列 $x(n)$ 为周期性序列，周期为 $N$ 。 序列运算 Easy 加法和乘法 位移、翻转、尺度变换 离散时域系统 系统输入为 $x(n)$ ，输出为 $y(n)$ ，运算关系用 $T[\cdot]$ 表示。 $$ y(n)=T[x(n)] $$ 线性系统 系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。 可加性 $$ y_1(n)=T[x_1(n)],y_2(n)=T[x_2(n)] $$ $$ T[x_1(n)+x_2(n)]=y_1(n)+y_2(n) $$ 齐次性（比例性） $$ T[a \times x(n)]=a \times y(n) $$ 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系 $T[\cdot]$ 在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输人信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统。 $$ y(n)=T[x(n)] $$ $$ y(n-n_0)=T[x(n-n_0)] $$ 线性时不变系统特点 完全响应=零输入响应+零状态响应 单位脉冲响应 初始状态为 0（无零输入响应） $$ h(n)=T[\delta(n)] $$ $$ x(n)=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)\delta(n-m) $$ $$ \begin{align} y(n) &=T[x(n)]\\ &=T[\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)\delta(n-m)]\\ &=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)T[\delta(n-m)]\\ &=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)h(n-m)\\ &=x(n)*h(n) \end{align} $$ 卷积相关知识见《信号与系统》 系统因果性 定义：如果系统 $n$ 时刻的输出只取决于 $n$ 时刻以及 $n$ 时刻以前的输入序列，而和 $n$ 时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。 ==充要条件==：系统单位脉冲响应满足下式 $$ h(n)=0 \quad n<0 $$ 系统稳定性 定义：如果对有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称该系统具有稳定性，或称该系统为稳定系统。 ==充要条件==：系统的单位脉冲响应绝对可和。 $$ \sum^{\infty}_{m=-\infty}|h(n)|<\infty $$ 线性常系数差分方程
流体静力学基础 气体性质 压缩性 体积弹性模数 定义：产生单位相对体积变化所需压强增高 $$ E=-\frac{dp}{dV/V} $$ 对于一定质量气体，体积与密度成反比例关系，即 $$ \frac{d \rho}{\rho}=-\frac{dV}{V} $$ 回代得 $$ E=\rho \frac{dp}{d \rho} $$ 常温下水的体积弹性模数：$2.1 \times 10^9N/m^2$ 通常情况下水可视为不可压缩流体。 粘性 牛顿粘性定律 流体运动所产生的摩擦阻力与接触面积成正比 $$ \tau =\mu \frac{du}{d \vec{n}} $$ $\tau$ ：摩阻应力，单位面积上的摩擦阻力 $\vec{n}$ ：接触面法线方向 $\mu$ ：比例常数，称为流体的粘性系数，单位为 $N \cdot s/m^2$ $\frac{du}{d \vec{n}}$ ：速度梯度 不同流体介质粘性系数值各不相同，并且粘性系数随温度变化，与压强基本无关。 气体粘性系数随温度升高而增大。 萨特兰公式 空气粘性系数随温度变化关系，近似公式之一萨特兰公式 $$ \frac{\mu}{\mu_0}=(\frac{T}{288.15})^{1.5}\frac{288.15+C}{T+C} $$ $\mu_0$ ：温度为 $288.15K$ 时空气粘性系数 $C$ ：常数，值为 $110.4K$ 运动粘性系数 $$ \nu=\frac{\mu}{\rho} $$ $\nu$ ：运动粘性系数，单位为 $m^2/s$ $\mu$ ：粘性系数 $\rho$ ：密度 传热性 定义：当气体中沿某一方向存在温度梯度时，热量就会由温度高的地方传向温度低的地方，这种性质称为气体的传热性。 单位时间内所传递热量与传热面积成正比，与沿热流方向的温度梯度成正比，即 $$ q=-\lambda \frac{\partial T}{\partial \vec{n}} $$ $q$ ：单位时间通过单位面积热量，单位 $kJ/(m^2 \cdot s)$ $\frac{\partial T}{\partial \vec{n}}$ ：温度梯度，单位为 $K/m$ $\lambda$ ：导热系数，单位为 $kJ/(m \cdot K \cdot s)$ 负号表示热量传递方向永远与温度梯度方向相反。 流体分类 连续介质假设 理想流体 不考虑粘性，在这种模型中，流体微团不承受粘性力作用。常用于气体。 忽略粘性的气体称为理想气体。 压强各向同性 理想流体内一点处的压强与受压面的方位无关，它仅是空间坐标的连续函数。 不可压流体 不考虑气体压缩性或弹性，可认为体积弹性模数无穷大，或流体密度为常数。常用于液体。 求解不可压流体的流动规律，只需要服从力学定律，不需要考虑热力学关系。 对流速较低的气体，也可按不可压流体处理流动问题。 绝热流体 不考虑流体传热性的模型，即把流体热导系数看作零。低速流动的空气一般热导系数值很小，可视为绝热。 不考虑气体微团之间热传导作用的气体模型称之为绝热气体。 完全气体 任何状态下，气体的压强、密度和温度之间都存在一定的函数关系 $$ p=p(\rho,T) $$ 完全气体的状态方程 $$ p=\frac{\overline{R}}{m}\rho T $$ $\overline{R}$ ：普适气体常数，$8315m^2/(s^2 \cdot K)$ $m$ ：某种气体相对分子质量 $R=\frac{\overline{R}}{m}$ 时， $$ p=\rho R T $$ $R$ 为气体常数，空气约为 $287.035m^2/(s^2 \cdot K)$ 流体微团受力 压力 切应力（摩擦力） 彻体力 重力 电磁力 离心力 静平衡方程 在==静止流体==中取一点 $P$，压强为 $p$ 构建笛卡尔坐标系，流体内各点处压强为 $$ p(x,y,z) $$ 以 $P$ 为中心构建各边平行于坐标轴的长方体，边长为 $dx,dy,dz$ 观察 $x$ 轴方向，两面受压力大小分别为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)+(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ 流体微团 $x$ 轴方向受彻体力为 $$ f_x \rho dx dy dz $$ $f_x$ 为单位质量上所受彻体力在 $x$ 轴方向分力。 因为是静止流体，流体微团受力平衡。 $x$ 轴方向力平衡方程为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy-[p(x_0,y_0,z_0)+(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy+f_x \rho dx dy dz=0 $$ 整理得 $$ \frac{\partial p}{\partial x}=\rho f_x $$ $$ \frac{\partial p}{\partial y}=\rho f_y $$ $$ \frac{\partial p}{\partial z}=\rho f_z $$ $\because$ $p$ 全微分方程为 $$ dp=\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial p}{\partial y}dy+\frac{\partial p}{\partial z}dz $$ $\therefore$ $$ dp=\rho(f_x dx+f_y dy+f_z dz) $$ 设==彻体力位函数== $$ \varOmega=\varOmega(x,y,z) $$ 全微分为 $$ d \varOmega=\frac{\partial \varOmega}{\partial x}dx+\frac{\partial \varOmega}{\partial y}dy+\frac{\partial \varOmega}{\partial z}dz $$ 其中 $\frac{\partial \varOmega}{\partial x}=f_x$，$\frac{\partial \varOmega}{\partial y}=f_y$，$\frac{\partial \varOmega}{\partial z}=-f_z$ 由上述关系得到 $$ dp=-\rho d \varOmega $$ 两边对 $x,y,z$ 三重积分得 $$ p=-\rho \varOmega+C(常数) $$ $$ C=p+\rho \varOmega $$ 当已知某一点 A 处的压强 $p_a$ ，两点处彻体力位函数差 $\varOmega_a-\varOmega$ ，该静止流体密度 $\rho$ （处处相等）时，已知任一点彻体力位函数 $\varOmega$ 可求得该点压强 $$ p=p_a+\rho (\varOmega_a-\varOmega) $$ 推论： 流体内等压面必是彻体力的等位面。 大气 大气分层 底层大气 高度：海平面——85 km 特点：组分均匀，氮气占总体积 78.1%，氧气占总体积 21% 对流层 高度 赤道：16~18 km 中纬度地区：10~12 km 两极：7~10 km 质量：占整个大气质量 75% 特点：有上下方向流动，有风暴、雷雨现象。随高度增加，空气温度快速下降。 对流顶层 过渡层，厚度数百米到一二千米。 平流层 高度：对流层~32 km 质量：约占大气层质量四分之一 特点：无气象，空气水平流动，温度保持常数（平均约 216.65 K） 中间大气层 高度：32~85 km 质量：1/3000 温度：先上升后下降，85 km 处可降到 106 K 以下。 高层大气 高度：85 km 以上 特点：组分不均匀，直接吸收太阳辐射 高温层 高度：85~500 km 温度：随高度升高温度上升，500 km 处白天可达 1370 K。 特点：直接受太阳短波辐射 外层大气 高度：500+ km，大气逐渐与星际空间融合 质量：$1/10^{11}$ 特点：大气过于稀薄，不适合用温度定义。空气分子可逃逸入太空。 上层大气与电离层 上层大气受太阳短波辐射离解为电子和离子，形成电离层。 100 km 以上高空中，空气是良导体。 150 km 以上，空气过于稀薄，无法传递声音。 D 层 高度：60~80 km E 层 高度：100~120 km $F_1$ 层 高度：180~220 km $F_2$ 层 高度：300~350 km 国际标准大气 航空工程中统一的大气压强、密度、温度等参数标准，按中纬度地区全年平均条件统计确定，称为国际标准大气。 流体运动学与动力学基础 流场 流场：充满运动流体的空间 流动参数：用以表示流体运动特征的物理量，入速度、密度、压强等。 流体力学方法：拉格朗日法，欧拉法 拉格朗日法 着眼于质点（运动） 研究流场各个质点的运动参数随时间变化规律和运动轨迹。 综合所有流体质点运动参数变化从而得到整个流场运动规律。 欧拉法 着眼于空间点（不动） 研究流体质点通过空间固定点时，运动参数随时间变化规律。 综合流场中所有空间点处运动参数变化情况，可得到整个流场运动规律。 欧拉法中，流场运动参数一般是空间点坐标和时间的函数。 以速度为例 $$ v=v(x,y,z,t) $$ 四个变量独立。 一般三维空间中，建立笛卡尔坐标系，将标量参数分解到 $x,y,z$ 轴方向分别分析。 $$ v_x=v_x(x,y,z,t) $$ 求导得加速度分量 $$ a_x=\frac{d v_x}{dt}=\frac{\partial v_x}{\partial t}+\frac{\partial v_x}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial v_x}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial v_x}{\partial z}\frac{dz}{dt} $$ $\because$ $\frac{dx}{dt}=v_x,\frac{dy}{dt}=v_y,\frac{dz}{dt}=v_z$ $\therefore$ $$ a_x=\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x \frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y \frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} $$ 由此可知，加速度是时间和位置的函数 $$ a_x=a_x(t,x,y,z) $$ 当地加速度 等式右边第一项表示空间固定点处的流体质点速度随时间变化率，称当地加速度。（速度与时间关系） 当地加速度是由流场中速度随时间的变化性引起的。 迁移加速度 后三项反映在同一瞬时，流体质点沿速度矢量方向从空间一点运动到相邻另一点速度变化率，称为迁移加速度。（速度与位移关系） 迁移加速度是由流畅的不均匀性引起的。 非定常流场 流场中至少存在一空间点的物理量随时间变化。 定常流场 流场中任意空间点处的物理量不随时间变化。 迹线 流场中标定的运动流体质点在一段时间内所经过所有空间点的集合，称为该流体质点迹线。 流线 在流场中每一空间点上都与速度矢量相切的曲线称为流线。 流线是同一时刻不同流体质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的速度方向。 特点： 在定常流场中各流线不随时间变化。 非定常流场中存在随时间变化的流线。 定常流场中，经过某一空间点的流线，与所有经过该空间点的流体质点的迹线重合。 一般流线不相交（同一时刻同一空间点不存在两个速度方向） 在速度为 0 的空间点上，流线可以相交。通常称速度为 0 的空间点为驻点。 在速度无穷大的空间点上，流线可以相交，通常称速度无穷大的空间点为奇点。 流线相切，切点后两线重合。 流场中每一点都有流线通过，所有流线集合称为流线谱或简称流谱。 流线微分方程 设流线上某点 $M(x,y,z)$ 处速度为 $\vec{v}$ ，$M$ 点流线微段长 $ds$ ，在笛卡尔坐标系分解为 $v_x,v_y,v_z$ 和 $dx,dy,dz$ 。 流线任一点速度方向与流线切线方向相同，则 $$ \cos(\vec{v},\vec{i})=\frac{v_x}{v}=\frac{dx}{ds} $$ $\vec{i}$ 为 $x$ 轴方向单位法向量，$y,z$ 轴同理。 $$ \frac{dx}{v_x}=\frac{dy}{v_y}=\frac{dz}{v_z} $$ 上式即为流线的微分方程式。 已知速度分布时，可求得流场中通过任一点的流线形状。 流管 在流场中一条不为流线的封闭曲线 C，过 C 上每一点作流线，由这些流线集合构成的管状曲面称为流管。 流体微团运动分析 运动形式 刚体运动 平移运动 绕轴转动 流体运动 平移运动 绕轴转动 变形运动 直线变形 剪切变形 二维分析 在流场中任取一矩形流体微团 ABCD，其两边的边长分别为 $\delta_x,\delta_y$ ，且均为小量。 设 $v_x,v_y$ 为 A 点处流体微团分速度，且分速度均为空间点坐标的连续函数，则 B, D 点速度可用泰勒级数在 A 点的展开表述。 $\because$ 流体微团边长足够小 $\therefore$ 二阶以上小量可忽略 $$ v_{Bx}=v_x+\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x $$ $$ v_{By}=v_y+\frac{\partial v_y}{x}\delta_x $$ 流体微团运动时，除了整体运动，B 相对于 A 点也有运动。 $x$ 轴方向相对运动速度 $v_{Bx}-v_x=\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ ，$y$ 轴方向同理 $\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ 。 D 相对于 A 运动速度为 $v_{Dx}-v_x=\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta_y,v_{Dy}-v_y=\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y$ 。 线变形运动 相对速度 $\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ 和 $\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y$ 是矩形 ABCD 边线的直线形变速度，时间 $dt$ 内 $$ AB'=AB+\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x dt $$ $$ AD'=AD+\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y dt $$ 矩形面积相对变化率为 $$ \frac{d(\delta S)}{\delta S \cdot dt}=\frac{AB' \cdot CD'-AB \cdot CD}{AB \cdot CD \cdot dt} $$ 略去高阶小量后， $$ \frac{d(\delta S)}{\delta S \cdot dt}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y} $$ 拓展到三维空间后，同理可得 $$ \frac{d(\delta V)}{\delta V \cdot dt}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z} $$ 角变形运动 相对速度 $\frac{\partial v_y}{\partial x}\delta x,\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta y$ 表示 AB 边和 AD 边绕 A 点的转动。 规定逆时针转动为正， AB 边转动角速度 $$ \frac{d\alpha_1}{dt}=\frac{\partial v_y}{\partial x}\delta_x / \delta_x=\frac{\partial v_y}{\partial x} $$ 同理 AD 边转动角速度为 $$ \frac{d \alpha_2}{dt}=-\frac{\partial v_x}{\partial y} $$ 微团绕 $z$ 轴转动角速度 定义：微团在 $xOy$ 平面投影中两条互相垂直线绕 $z$ 轴转动角速度的平均值。（角速度和之半） $$ \epsilon_z=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}) $$ 角变形率 定义：微团在 $xOy$ 平面投影中两条互相垂直线在单位时间内的夹角变化量之半。（角速度差之半） $$ \gamma_z=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_y}{\partial x}+\frac{\partial v_x}{\partial y}) $$ 拓展到三维空间后，流体微团的三轴转动角速度和角变形率同理可求。 略。 散度 定义：各速度分量在其分量方向上的方向导数之和为速度矢量的三度。 $$ div \vec{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z} $$ 物理意义：标定流体微团在运动过程中相对体积变化率。 ==假设前提==：流体的密度没有发生变化（流体的运动视为不可压流）。 由一点发出的体积流量定义为 $$ \lim_{\delta V \to 0}\frac{体积流出量-体积流入量}{\delta V \cdot dt}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z} $$ 等于单位时间内空间某一点处，单位体积控制体的体积净流出量，等于流体微团在运动中体积相对变化率。 旋度 定义：旋转角速度的两倍。 $$ \vec{\omega}=curl \vec{v}=(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x})\vec{j}+(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y})\vec{k} $$ 速度位 在流体力学中, 可根据流体微团是否有旋转运动, 而将流体运动分为 有旋运动 无旋运动 当把流动看作无旋运动时，$\omega=0$ ， $$ \begin{cases} \frac{\partial v_z}{\partial y}=\frac{\partial v_y}{\partial z} \\ \frac{\partial v_x}{\partial z}=\frac{\partial v_z}{\partial x} \\ \frac{\partial v_y}{\partial x}=\frac{\partial v_x}{\partial y} \\ \end{cases} $$ 上述方程组是 $v_xdx+v_ydy+v_zdz$ 构成某函数 $\phi(x,y,z)$ 全微分的充要条件。即 $$ d \phi=v_xdx+v_ydy+v_zdz=\frac{\partial \phi}{\partial x}dx+\frac{\partial \phi}{\partial y}dy+\frac{\partial \phi}{\partial z}dz $$ $\phi$ 称为速度位或速度位函数。 $$ \begin{cases} v_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}\\ v_y=\frac{\partial \phi}{\partial y}\\ v_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}\\ \end{cases} $$ 使用柱极坐标时， $$ \phi=\phi(r,\theta,z) $$ $$ \begin{cases} v_r=\frac{\partial \phi}{\partial r}\\ v_\theta=\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\\ v_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}\\ \end{cases} $$ 基本物理量 应力 ：单位面积上的力称为应力 标量 压强 密度 温度 粘性系数 矢量 流动速度 剪应力 理想气体状态方程 $$ pV=nRT $$ $R=8.314J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ 为理想摩尔气体常数。 $$ p=\frac{n \cdot M}{V}\frac{R}{M} T $$ $$ n(物质的量) \cdot M(摩尔质量)=m(质量) $$ $$ p=\rho R' T $$ $$ R'=\frac{R}{M} $$ $R'$ 为==比气体常数==。 理想空气 $R'=287J/(kg \cdot K)$ 空气动力及力矩 空气动力 $R$：Resultant 空气对物体的力 压力 $p$ ：Pressure 剪应力 $\tau$ ：Shear stress 压力与剪应力的合力即为空气对物体作用力，空气动力。 风轴系 升力 $L$ ：Lift，竖直分力 阻力 $D$ ：Drag，水平分力 自由来流（自由流） $$ V_{\infty} $$ 自由流是指飞机前未经扰动的来流，也即没有飞机等干扰时，空气的自然流动现象。 升力与阻力的方向由自由来流方向决定。 迎角（攻角） $$ \alpha $$ 迎角（英语：Angle of attack，缩写为AOA，常用希腊字母α表示）为空气动力学名词，为机翼之翼弦与自由流（或是相对风流的方向）之夹角；如为飞机迎角，定义则为机轴对相对风流之夹角。当机翼向上为正迎角，向下则为负迎角。 体轴系 法向力 $N$：Normal，垂直于机翼方向 轴向力 $A$：Axial，平行于机翼方向 力矩 $M$：Moment 让飞机抬头的力矩为正，让飞机低头力矩为负。 动压 $q$ 自由来流 $V_{\infty},\rho_{\infty}$ 产生的动压 $$ q_{\infty}=\frac{1}{2}\rho_{\infty}V_{\infty}^2 $$ 单位为 $Pa$ ，同压强 特征几何尺寸 $S$ 对三维物体来说是面积，对二位物体来说是周长。 无量纲参数 三维物体常用大写 $C$ ，二维物体常用小写 $c$ 。 升力系数 $$ C_L=\frac{L}{q_{\infty}S} $$ 阻力系数 $$ C_D=\frac{D}{q_{\infty}S} $$ 法向力系数 $$ C_N=\frac{N}{q_{\infty}S} $$ 轴向力系数 $$ C_A=\frac{A}{q_{\infty}S} $$ 空气动力系数 $$ C_R=\frac{R}{q_{\infty}S} $$ 力矩系数 $$ C_M=\frac{\vec{M}}{\vec{r} \times \vec{q_{\infty}}S} $$ 压力系数 $p$：某点静压 $p_{\infty}$：自由来流静压 $$ C_p=\frac{p-p_{\infty}}{q_{\infty}} $$ 摩擦力系数 $\tau$：某点剪应力，即剪应力对面积导数。量纲同压强。 $$ C_f=\frac{\tau}{q_{\infty}} $$ 两个中心 压力中心（压心） 压力中心（Pressure Center）：流体中的平面或曲面所受流体压力的合力的作用线同该平面或曲面的交点。空气动力 $R$ 对此点力矩为 $\vec{0}$。 空气动力中心（气动中心，焦点） 空气动力中心（英语：aerodynamic center，简称 AC）在空气动力学 中是指翼型 上的一个定点，绕该点的俯仰力矩不随迎角 的改变而变化，即 $$ \frac{d C_M}{d \alpha}=0 $$ 气动中心与压力中心的区别 压力中心是力系合成到一个特殊点时，使得这个点的合力矩为0的点，压力中心在气动中心的后面；而气动中心是使得合力矩不变的点。 压力中心的位置随着迎角的改变而改变，当迎角增大，升力增大，压力中心前移，这同时使得压力中心与气动中心的距离缩短，增大的升力与缩短力臂乘积刚好是不变的力矩，这也正是气动中心的定义所要求的。
破事氵 台式电脑通过网线连校园网要拨号上网，幽默腾子几百年没更新的TIM登录时没网会报错弹窗。 于是每次开机我都得手动打开设置里的拨号上网，设置的TIM开机自启动会先行一步报错，显得开机自启动这个功能很幽默。 于是写个bat自动联网，任务管理器里设置开机自启动。但它启动和TIM是同一个优先级，往往来不及连上网络TIM就自动登录然后报错弹窗了。 在计划程序库里把自动联网程序设置为开机启动，TIM登录后延时15s启动。 （为方便记忆我把bat放startup文件夹里，开机联网计划程序设为最高优先级隐藏，幽默火绒检测不到的计划程序不让运行，以至于调试好几次都是登陆后才开始联网，我一度以为哪里设置有问题。） 但这样又显得花68大洋买指纹识别器的我很幽默。 不知道万能的好友列表里有没有懂计算机的大佬有更好的解决方案。 有一个无线网卡，但性能不好。连接校园网时常要网页验证，我设了梯子开机自启动，挂着梯子就打不开学校网络验证的网页，得先关梯子->网页验证->开梯子->关TIM报错弹窗->重启TIM。让人十分乃至九分的火大。 拨号上网程序 先新建文本文档（txt），写入下面内容后保存，更改文件名为想要的名称（如reconnect internet，最好为英文），拓展名改为bat。 rasdial 你的宽带网络名称（如宽带连接，最好用英文） 账号（如学号） 密码 开机自动拨号与断网重连 Windows图标（开始）右键->计算机管理->任务计划程序->任务计划程序库 右边创建任务->设置任务名称（如断网重连）->不管用户是否登录都要运行->使用最高管理权限运行（可选）->不要隐藏！！！->配置根据自身电脑选（比如Windows11选择最接近的Win10） 触发器->新建->开始任务选择“启动时”->确定（开机联网） 新建->开始任务选择“发生事件时”->日志翻到最下面倒数第二个“应用程序”->源“RasClient”->确定（断网重连） 转到操作->新建->启动程序->浏览找到你刚写的bat程序选中->确认 确认（此时会要求输入Windows系统登录的微软账号密码，不是PIN，总是出错建议检查常规页面里的用户账户是否匹配。）
物理量 内能 U $$ \Delta U=Q+W $$ Q为系统吸热，W为系统对外做功 熵 S 熵是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数，也就是当总体的熵增加，其做功能力也下降，熵的量度正是能量退化的指标。 ==可逆过程==中 $$ \Delta S=\frac {Q}{T} $$ Q：在一个可逆过程中，系统在恒温情况下吸热 焓 H $$ H=U+pV $$ 自由能 F $$ F=U-TS $$ 系统内能-不能做工的能量=能做工的能量（自由能） 吉布斯函数（自由焓）G $$ G=F+pV=U-TS+pV=H-TS $$ 化学势 $\mu$ $$ \mu=(\frac{\partial G}{\partial n})_{T,p}=G_m $$ 其中： n：物质的量（$mol$） $G_m$：摩尔吉布斯函数 方程 状态函数全微分 (可逆过程) 内能全微分（热力学基本方程） $$ dU=dQ+dW=TdS-pdV $$ 即$U=U(S,V)$ $$ (\frac{\partial U}{\partial S})_V=T,(\frac{\partial U}{\partial V})_S=-p $$ $\because$ U二阶偏导相等 $\therefore$ 得到第一麦氏关系： $$ (\frac{\partial T}{\partial V})_S=-(\frac{\partial p}{\partial S})_V $$ 焓全微分 $$ dH=dU+d(pV)=TdS-pdV+pdV+Vdp=TdS+Vdp $$ 自由能全微分 $$ dF=-SdT-pdV $$ 吉布斯函数全微分 $$ dG=-SdT+Vdp $$ 熵全微分 $$ dS=\frac{dU+pdV}{T} $$ 麦氏关系 麦氏关系（Maxwell Relations）是在热力学中描述状态变量之间关系的重要方程。 以下是四个麦氏关系： 第一麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_S = - \left ( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_V $$ 第二麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_S = \left ( \frac{\partial V}{\partial S} \right)_P $$ 第三麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \left ( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V $$ 第四麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T = -\left ( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P $$ 推论： $$ C_p-C_V=T(\frac{\partial p}{\partial T})_V(\frac{\partial V}{\partial T})_p $$ 对于理想气体$pV=nRT$ 带入得 $$ C_p-C_V=nR,为常数 $$ 物态方程 定义：温度与状态参量之间的函数关系方程。 $$ f(p,V,T)=0 $$ 理想气体物态方程 $$ pV=nRT=NkT $$ n：物质的量 R：气体常数 N：系统总粒子数 k：玻尔兹曼常数范德瓦尔兹方程 $$ (p+\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT $$ a、b为常数常见系数 体胀系数$\alpha$ $$ \alpha=\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial T})_p=\frac{1}{T},理想气体 $$ 压强系数$\beta$ $$ \beta=\frac{1}{V}(\frac{\partial p}{\partial T})_V=\frac{1}{T},理想气体 $$ 等温压缩系数$\kappa_T$ $$ \kappa_T=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial P})_T=\frac{1}{p},理想气体 $$ 热容C $$ C=\lim_{\Delta T \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta T} $$ 定容热容$C_V$ $$ C_V=(\frac{\partial U}{\partial T})_V=T(\frac{\partial S}{\partial T})_V $$ 定压热容$C_p$ $$ C_p=(\frac{\partial H}{\partial T})_p=T(\frac{\partial S}{\partial T})_p $$ 多方热容$C_n$ $$ C_n=T(\frac{\partial S}{\partial T})_n $$ 理想气体绝热方程 $\gamma$：#绝热系数 C：常数 $$ pV^\gamma=C_1 $$ $$ TV^{\gamma-1}=C_2 $$ $$ P^{1-\gamma}T^\gamma=C_3 $$ ==热力学第二定律== $$ dS\ge \frac{dQ}{T} $$ 两条绝热线不能相交 T：外界温度 当且仅当该过程为可逆过程时，外界温度=系统温度=T 可逆热机效率$\eta$ #卡诺定理 $$ \eta=1-\frac{T_1}{T_2} $$ $T_2$：高温热源温度 $T_1$：低温热源温度 $0<\eta<1$ 节流过程中的能量方程 对于节流过程，可以写出以下能量平衡方程： $$ H_1 = H_2 $$ 其中，$H_1$ 和 $H_2$ 分别是节流前后的焓。 证明： 系统绝热，$\Delta U=W$ $U_2-U_1=p_1V_1-p_2V_2$ $U_2+p_2V_2=U_1+p_1V_1$ $H_2=H_1$ 焦汤系数 #节流过程 $$ \mu=(\frac{\partial T}{\partial p})_H=\frac{V}{C_p}(T\alpha-1) $$ 开系的热力学基本方程（$+\mu dn$） 内能全微分 $$ dU=dQ+dW+\mu dn=TdS-pdV+\mu dn $$ 焓全微分 $$ dH=dU+d(pV)+\mu dn=TdS+Vdp+\mu dn $$ 自由能全微分 $$ dF=-SdT-pdV+\mu dn $$ 吉布斯函数全微分 $$ dG=-SdT+Vdp+\mu dn $$ 巨热力势 $$ J=-pV $$ 克拉伯龙方程 $$ \frac{dp}{dT}=\frac{S_m^\beta-S_m^\alpha}{V_m^\beta-V_m^\alpha}=\frac{L}{T(V_m^\beta-V_m^\alpha)}=\frac{s^\beta-s^\alpha}{v^\beta-v^\alpha} $$ 其中： $L=T(S_m^\beta-S_m^\alpha)$为相变潜热。 $S_m$ 为摩尔熵 $s$ 为比熵（单位质量熵） $v$ 为比体积（单位质量体积）艾伦菲斯特方程 在#二级相变中，克拉珀龙方程为 $\frac{0}{0}$ 不定式，应用洛必达法则，将分子、分母对 $𝑇$ 求偏导，得 $$ \frac{d𝑝}{d𝑇}=\frac{\Delta c_𝑝}{𝑇𝑣\Delta\alpha} $$ 也可以将分子、分母对 $𝑝$ 求偏导 $$ \frac{d𝑝}{d𝑇}=\frac{\Delta\alpha}{\Delta\kappa_T} $$ 上两式即为Ehrenfest方程。 一级相变方程 公式 对于一级相变，在相变温度 $T_c$ 处，吉布斯自由能 $G$ 本身是连续的，但其关于温度和压力的一阶导数是存在不连续性的： $\left ( \frac{\partial G}{\partial T} \right)_P = -S$ $\left ( \frac{\partial G}{\partial P} \right)_T = V$ 在相变点 $T_c$，这些一阶导数会有跃变： $$ \Delta S = S_2 - S_1 \neq 0 $$ $$ \Delta V = V_2 - V_1 \neq 0 $$ 其中，$S$ 是熵，$V$ 是体积，指数 1 和 2 表示相变前后的两个相。 证明 一级相变的特征在于，热力学势函数的某些一阶导数在相变点存在不连续性。以熵为例： 吉布斯自由能的连续性： 在相变温度 $T_c$ 处，吉布斯自由能 $G$ 是连续的： $$ G_1 (T_c, P) = G_2 (T_c, P) $$ 熵的不连续性： 对 $G$ 取温度的偏导数，得到熵的表达式： $$ S = -\left ( \frac{\partial G}{\partial T} \right)_P $$ 在 $T_c$ 处，熵的跃变为： $$ \Delta S = S_2 - S_1 = -\left ( \frac{\partial G_2}{\partial T} \right)_P + \left ( \frac{\partial G_1}{\partial T} \right)_P \neq 0 $$ 这表明熵在相变点存在不连续性。 二级相变方程 公式 对于二级相变，在相变温度 $T_c$ 处，吉布斯自由能 $G$ 及其一阶导数（如熵和体积）是连续的，但其二阶导数（如热容、压缩系数、热膨胀系数）是不连续的： $\left ( \frac{\partial^2 G}{\partial T^2} \right)_P = \frac{\partial S}{\partial T} = \frac{C_P}{T}$ $\left ( \frac{\partial^2 G}{\partial P^2} \right)_T = \frac{\partial V}{\partial P} = -\kappa_T V$ 在相变点 $T_c$，这些二阶导数会有跃变： $$ \Delta C_P = C_{P 2} - C_{P 1} \neq 0 $$ $$ \Delta \kappa_T = \kappa_{T 2} - \kappa_{T 1} \neq 0 $$ 其中，$C_P$ 是定压热容，$\kappa_T$ 是等温压缩系数。 证明 二级相变的特征在于，热力学势函数的某些二阶导数在相变点存在不连续性。以热容为例： 熵的连续性： 在相变温度 $T_c$ 处，熵 $S$ 是连续的： $$ S_1 (T_c, P) = S_2 (T_c, P) $$ 热容的不连续性： 对熵取温度的偏导数，得到热容的表达式： $$ C_P = T \left ( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_P $$ 在 $T_c$ 处，热容的跃变为： $$ \Delta C_P = C_{P 2} - C_{P 1} = T \left ( \left ( \frac{\partial S_2}{\partial T} \right)_P - \left ( \frac{\partial S_1}{\partial T} \right)_P \right) \neq 0 $$ 这表明热容在相变点存在不连续性。 多元系吉布斯函数全微分 $$ dG=-SdT+Vdp+\sum_i\mu_i dn_i $$ 吉布斯相律 $$ f=k+2-\varphi $$ 其中： $f$：多元复相系自由度，即独立变化强度量数目 $k$：组元数 $\varphi$：相数 德布罗意关系 #德布罗意波 $$ \begin{cases} \varepsilon=\hbar\omega\\ \vec{p}=\hbar\vec{k} \end{cases} $$ 普朗克常数 $$ \begin{align} h & =6.626069934(89)×10^{-34}J\cdot s \\ & =4.135667662(25)×10^{-15}eV\cdot s \end{align} $$ 约化普朗克常数（狄拉克常数）： $$ \hbar \equiv \frac{h}{2\pi}=1.054571800(13)\times10^{-34}J\cdot s $$ 不确定关系 $$ \Delta q\Delta p\ge h $$ Or $$ \Delta q\Delta p\ge \frac{\hbar}{2} $$ ==一般地==，取 $$ \Delta q\Delta p\approx h $$ 三维自由粒子量子态数 ==暂时不考虑量子自旋== 粒子在宏观大小容器内运动时，动量值与能量值是准连续的。 直角坐标动量表征 求在体积 $V=L^3$ 内，在 $p_x$ 到 $p_x+dp_x$， $p_y$ 到 $p_y+dp_y$， $p_z$ 到 $p_z+dp_z$ 动量范围内的自由粒子量子态数。 解法一： 由#三维自由粒子动量与量子数关系， 可能的 $p_x$ 数目为： $$ dn_x=\frac{L}{2\pi\hbar}dp_x $$ 即用 $dp_x$ 表征量子数 $dn_x$ 其他两个方向同理。 $$ dn_xdn_ydn_z=\frac{V}{h^3}dp_xdp_ydp_z $$ 解法二： 由#相格定义，三维自由粒子相格大小为 $\Delta q_1\cdots \Delta q_r\Delta p_1\cdots \Delta p_r\approx h^3$。题目中 $\mu$ 空间体积为 $d\Omega=Vdp_xdp_ydp_z$。 该体积能容纳相格数即为自由粒子量子态数。 $$ dn_xdn_ydn_z=\frac{d\Omega}{h^3}=\frac{Vdp_xdp_ydp_z}{h^3} $$ 球坐标动量表征 $$ \displaylines{p_x=p\sin \theta \cos \varphi \\p_y=p\sin \theta \sin \varphi \\p_z=p\cos \theta} $$ $$ dp_xdp_ydp_z=p^2\sin \theta dp d\theta d\varphi $$ 在体积 $V$ 内，动量大小在 $p$ 到 $p+dp$，方向在 $\theta$ 到 $d\theta$，$\varphi$ 到 $\varphi+d\varphi$ 范围内，自由粒子可能状态数为 $$ \frac{Vp^2\sin \theta dp d\theta d\varphi}{h^3} $$ 共 $p,\theta,\varphi$ 三个量子数，对应三个自由度。 能量表征 对 $\theta,\varphi$ 积分（$0<\theta<\pi,0<\varphi<2\pi$）得： $$ \frac{4\pi Vp^2}{h^3}dp $$ 此时动量任意方向，自由度为 1。 $\because$ $\varepsilon=\frac{p^2}{2m}$ $\therefore$ 在体积 $V$ 内，能量 $\varepsilon$ 到 $\varepsilon+d\varepsilon$ 范围内，自由粒子可能量子态数为 $$ D(\varepsilon)d\varepsilon=\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\varepsilon^{1/2}d\varepsilon $$ 其中 $D(\varepsilon)$ 表示单位能量间隔内可能状态数，成为==态密度==。 考虑量子自旋 #自旋角动量 量子态数=以上求得的动量量子态数 * 粒子自旋可能状态数 eg. 粒子自旋量子数为 $\frac{1}{2}$ ，$S_z=2s+1=1$，上式结果应该乘以 2 。 定义及定理 基础定义 平衡态 平衡态的定义把握两点： 系统与外界无宏观上的能量物质交换（区别于稳恒态）。可以有微观上的能量物质交换。 系统各部分宏观性质长时间内不发生任何变化。平衡态是热动平衡，存在涨落。 弛豫时间：一个系统从非平衡态恢复到平衡态所需的时间。 描述平衡态性质的方法：宏观描写 状态参量：确定平衡态性质的宏观变量 状态函数：由状态参量所确定的宏观变量 广延量和强度量 在热力学中，均匀系统的宏观变量可以分为两类：广延量和强度量。 广延量（Extensive Variables） 广延量是指依赖于系统规模或大小的热力学变量。这些变量随着系统的大小成比例地增加或减少。 质量（Mass）：整个系统的质量。 体积（Volume, V）：系统占据的空间体积。 能量（Energy, E）：包括内部能量、动能和势能。 熵（Entropy, S）：表示系统微观状态的不确定性和混乱度。 粒子数（Number of particles, N）：系统中粒子的总数。 热量（Heat, Q）：系统所包含或传递的热量。 电荷（Charge, Q）：系统中的电荷总量。 强度量（Intensive Variables） 强度量是指与系统的大小无关的热力学变量，这些变量在系统内的任一点都保持一致，不随系统规模而变化。 温度（Temperature, T）：表示系统的热状态。 压力（Pressure, P）：系统单位面积上所受的力。 化学势（Chemical potential, μ）：系统中每增加一个粒子所需要的自由能。 浓度（Concentration）：单位体积内粒子的数量。 电场（Electric field, E）：单位电荷所受的力。 磁场（Magnetic field, H）：单位磁偶极子所受的力矩。 广延量和强度量之间的关系 广延量和强度量之间有着密切的联系。通常，广延量可以通过强度量的乘积或积分来计算。例如： 内能（U）：可以通过系统的温度、体积和粒子数来确定。 体积：可以通过系统内每个单元体的密度积分来计算。 热量和功：是强度量（如温度和压力）与广延量（如熵和体积变化）的乘积。 温度 热平衡定律：若物体A分别与B和C处于热平衡，那么B和C热接触后也一定处于热平衡。 温度的定义：互为热平衡的物体必定存在一个属于物体本身内在性质的物理量，定义它为温度。 温标：温度的数值表示方法 三要素：测温物质的测温属性，固定点和分度。 过程的功 准静态过程：$W=\int_{V_1}^{V_2}pdV$ ，其中 $V_1$ 为系统初始体积，$V_2$ 为系统最终体积。 可逆过程：无耗散的准静态过程 可逆过程外界对系统所作的功可以用系统本身的状态参量来表达。 状态空间：以各独立状态参量为坐标轴构成的空间。 在状态空间中，一个点代表系统的一个平衡态，一条曲线就代表一个准静态过程。 过程方程：准静态过程中，独立状态参量间的函数关系。 功的表达式（仅讨论可逆过程）： 流体体积变化过程： −𝑝d𝑉 表面膜面积变化过程： 𝜎d𝐴 细弹性丝长度： 𝐹d𝐿 极化功（忽略电介质体积变化）： 磁化功（忽略磁介质体积变化）： 特殊非静态过程的功： 等容 $𝑊=0$ 等压 $𝑊=−𝑝 \Delta 𝑉$ 卡诺定理 所有工作于两个确定温度之间的热机中，可逆热机效率最高。 推论：两个可逆热机工作温度相同，则效率相等。 #可逆热机效率$ eta$ 熵增加原理 在绝热条件下，熵减少的过程是不可能实现的（熵永不减少）。 证明：由热力学第二定律： $$ dS\ge \frac{dQ}{T} $$ 绝热系统$dQ$=0，则$dS\ge 0$ 推论：孤立（绝热）系统不可逆过程总是朝着熵增加的方向进行，即$dS>0$。 节流过程 在热力学中，节流过程（Throttling Process）是一种常见的绝热过程，通常用于理解气体或液体在通过一个孔口、阀门或多孔塞子时的行为。 节流过程的特征 绝热性：节流过程通常被认为是绝热的，因为在快速流动过程中没有足够的时间进行热量交换。 等焓性：最重要的特征是节流过程是等焓过程，即焓（Enthalpy，$H$）在节流前后保持不变。这个特性在节流过程中起主要作用。#节流过程中的能量方程 不可逆性：节流过程是不可逆过程，系统的熵通常会增加。 压力下降：在节流过程中，流体的压力会显著下降。 焓与温度、压力的关系 对于理想气体，焓仅仅是温度的函数，因此节流过程对于理想气体来说温度保持不变（焦耳-汤姆逊效应的特殊情况）。但是对于实际气体，情况更加复杂，温度可能会增加或降低，取决于气体的==焦耳-汤姆逊系数==（Joule-Thomson coefficient，#焦汤系数），它定义为： $$ \mu_{JT} = \left ( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_H $$ 如果 $\mu_{JT} > 0$，气体温度在节流过程中下降。 如果 $\mu_{JT} < 0$，气体温度在节流过程中上升。 节流过程的应用 节流过程在许多工业应用中非常重要，例如： 制冷系统：利用节流阀（如膨胀阀）来降低制冷剂的温度和压力，从而实现冷却效果。 气体分离：通过节流使某些气体冷却至液化温度，从而分离出不同成分的气体。特性函数 特性函数（也称为热力学势函数或热力学势）是用来描述热力学系统状态的函数，通过这些函数可以导出各种热力学性质和关系。 主要的特性函数有四种：内能、亥姆霍兹自由能、焓和吉布斯自由能。 内能$U(S,V)$：绝热等容系统，U 不变 焓$H(S,p)$：绝热等压系统，H 不变 自由能$F(T,V)$：等温等容，F 不变 吉布斯函数$G(T,p)$：等温等压，G 不变辐射 平衡辐射 平衡辐射（Equilibrium Radiation）是指在热力学平衡状态下，系统的电磁辐射特性。此时，系统内的辐射与吸收过程达到动态平衡，电磁辐射的频谱和强度仅由系统的温度决定。 平衡辐射的特征 热平衡： 系统处于热平衡状态，即系统的各部分温度均匀，没有净的热流动。 黑体辐射： 在热平衡状态下，辐射具有黑体辐射的特征。黑体辐射是理想化的完全吸收和再辐射所有频率的辐射，光谱仅依赖于温度。辐射通量密度 辐射通量密度（Radiative Flux Density），也称为辐射出射度或辐射强度，是指单位时间内通过单位面积的辐射能量。它是描述辐射场的重要物理量，在热力学、气象学、天文学等领域有广泛应用。 定义 辐射通量密度E表示为： $$ E = \frac{d\Phi}{dA} $$ 其中： E是辐射通量密度，单位是瓦特每平方米（$W/m^2$）。 $d\Phi$ 是通过面积 $dA$ 的辐射能量通量，单位是瓦特（$W$）。 $dA$ 是面积，单位是平方米（$m^2$）。 ==Or== $$ J_u=\frac{c}{4}\frac{U}{V}=\frac{1}{4}cu $$ 其中： $c$：光速 $u$：辐射能量密度，$u=\frac{U}{V}$，单位体积平衡辐射能量斯特藩-玻尔兹曼定律中的应用 对于一个理想黑体，其辐射通量密度与其温度的四次方成正比，这由斯特藩-玻尔兹曼定律描述： $$ E = \sigma T^4 $$ 其中： $E$ 是黑体的辐射通量密度。 $\sigma$ 是斯特藩-玻尔兹曼常数，值为 $5.67 \times 10^{-8} \, W \, m^{-2} \, K^{-4}$。 $T$ 是黑体的绝对温度，单位是开尔文（$K$）。辐射通量密度的方向性 辐射通量密度是一个矢量量，考虑其方向性时称为辐射强度 $I$，表示为单位立体角上的辐射通量密度： $$ I = \frac{d\Phi}{dA \cos \theta \, d\Omega} $$ 其中： $I$ 是辐射强度，单位是瓦特每平方米每立体角（$W/m^2/sr$）。 $d\Omega$ 是立体角，单位是球面度（sr）。 $\theta$ 是辐射方向与法线之间的夹角。黑体辐射（空窖辐射） 黑体辐射（Blackbody Radiation）是指一个理想化的物体（称为黑体）在热平衡状态下发出的电磁辐射。黑体是一个理想化的概念，它具有完全吸收和完全辐射所有频率电磁波的能力。黑体辐射的特性只取决于黑体的温度，而与其材料或表面性质无关。 黑体辐射的特征 完全吸收： 黑体可以完全吸收所有入射的电磁辐射，无论波长或方向如何。因此，黑体在所有波长上没有反射或透射。 完全辐射： 黑体在任何温度下都发出电磁辐射，且在所有波长上都有辐射。这种辐射仅由黑体的温度决定。黑体辐射的实际应用 宇宙背景辐射： 宇宙微波背景辐射近似为一个温度为 2.725 K 的黑体辐射，是大爆炸理论的重要证据。 恒星光谱： 恒星的辐射近似为黑体辐射，通过分析恒星的光谱，可以推算出其表面温度。 红外测温： 利用黑体辐射原理，通过测量物体辐射出的红外线强度，可以推算出其表面温度。 热成像： 热成像设备利用黑体辐射原理，检测物体表面辐射的红外线来形成温度图像。热动平衡判据 孤立系统 孤立（绝热）系统 S 增大或不变，平衡态时$S_\max$。 若发生微动，$\Delta S<0$，将其展开为二阶泰勒级数$\Delta S=\delta S+\frac{1}{2}\delta^2 S$ 平衡时，满足$\delta S=0,\delta^2 S<0$ 等温等容系统 等温等容系统 F 减小或不变，平衡态时$F_\min$。 若发生微动，$\Delta F>0$，将其展开为二阶泰勒级数$\Delta F=\delta F+\frac{1}{2}\delta^2 F$ 平衡时，满足$\delta F=0,\delta^2 F>0$ 等温等压系统 等温等压系统 G 减小或不变，平衡态时$G_\min$。 若发生微动，$\Delta G>0$，将其展开为二阶泰勒级数$\Delta G=\delta G+\frac{1}{2}\delta^2 G$ 平衡时，满足$\delta G=0,\delta^2 G>0$ 单元两相系平衡条件 $$ \begin{cases} T^\alpha=T^\beta \\ p^\alpha=p^\beta \\ \mu^\alpha=\mu^\beta \end{cases} $$ 相变分类 #艾伦菲斯特方程 艾伦菲斯特（Paul Ehrenfest）对相变进行了分类，依据的是热力学势函数在相变点的连续性和导数的连续性。 艾伦菲斯特将相变分为一级相变和二级相变。 一级相变 一级相变（First-order phase transition）是指在相变过程中，热力学势函数（如吉布斯自由能）的一阶导数（如熵、体积）在相变点处是不连续的。 典型的一级相变包括熔化、汽化和升华等。 #一级相变方程 二级相变 二级相变（Second-order phase transition）是指在相变过程中，热力学势函数的一阶导数在相变点处是连续的，但其二阶导数存在不连续性。 典型的二级相变包括超导体的转变和液晶相变等。 #二级相变方程 多元系复相平衡条件 等温等压系统平衡条件 $$ \begin{cases} T^\alpha=T^\beta \\ p^\alpha=p^\beta \\ \mu_i^\alpha=\mu_i^\beta \end{cases} $$ 其它系统同理 吉布斯佯谬 描述：由性质任意接近的两种气体过渡到同种气体，熵增由 $2nR\ln 2$ 突变为 0。 原因：全同粒子不可分辨。 热力学第三定律 能斯特定理 凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零。 $$ \lim_{T \to 0}(\Delta S)_T=0 $$ 绝对零度不能到达原理 不可能通过有限步骤使一个物体冷却到热力学零度。 推论 $\lim_{T \to 0}C_n=0$ 爱因斯坦量子统计在#固体这里证明了该推论。 $\lim_{T \to 0}\alpha=0,\lim_{T \to 0}\beta=0$ 绝对零度时熵取值可以为 0 粒子运动状态经典描述 $\mu$空间 用位置坐标和动量坐标描述粒子力学运动状态。$q_1,q_2,...,q_r;p_1,p_2,...,p_r$ 共 2 r 个变量为直角坐标构成 2 r 维空间，成为 $\mu$ 空间。 粒子自由度：确定一个粒子在空间位置==或==位形位置所需最少坐标数。 相格 粒子运动状态在 $\mu$ 空间的体积 自由度为 $r$ 的粒子，相格大小为$\Delta q_1\cdots \Delta q_r\Delta p_1\cdots \Delta p_r$ 当其满足#不确定关系 $\Delta q_i\Delta p_i\approx h$，相格大小 $\approx h^r$ 自由粒子 自由粒子是不受力的作用而作自由运动的粒子。 当不存在外场时，理想气体的分子或金属中的自由电子都可近似地看作自由粒子。 自由粒子动量：$p_x=m\dot{x}$，粒子 x 轴方向动量。其中 m 为粒子质量，$\dot{x}$为粒子 x 轴方向速度（位置对时间求一阶导）。 自由粒子能量： $$ \varepsilon=\frac{1}{2m}\sum_ip_i^2 $$ 线性谐振子 经典力学告诉我们，质量为 $m$ 的粒子在弹性力 $F = -Ax$ 作用下，将沿 $x$ 轴在原点附近作简谐振动，称为线性谐振子。 振动的圆频率：$$\omega=\sqrt{\frac{A}{m}}$$ $A$：弹性系数 自由度为 1 的线性谐振子能量 动能和势能之和 $$ \varepsilon=\frac{p^2}{2m}+\frac{A}{2}x^2=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2 $$ 写成椭圆方程标准式 $$ \frac{p^2}{2m\varepsilon}+\frac{x^2}{\frac{2\varepsilon}{m\omega^2}}=1 $$ 转子（自由度为 2） 考虑质量为 $m$ 的质点 $P$ 被具有一定长度的轻杆系于原点 $O$ 时所作的运动。 在直角坐标系中，质点的位置由坐标 $x,y,z$ 确定。 质点能量（动能）： $$ \varepsilon=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) $$ 用球极坐标 $r,\theta,\varphi$ 描述质点的位置：$x=r\sin \theta \cos \varphi,y=r\sin \theta \sin \varphi,z=r\cos \theta$ 质点能量： $$ \begin{align} \varepsilon &=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\dot{\varphi}^2) \end{align} $$ 引入共轭动量$p_\theta=mr^2\dot{\theta},p_\varphi=mr^2\sin^2\theta \dot{\varphi}$，质点对 $O$ 转动惯量 $I$ $0<\theta<\pi,0<\varphi<2\pi$，两个自由度 $$ \varepsilon=\frac{1}{2I}(p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2\theta}p_\varphi^2) $$ 双原子分子 二体问题可以约化为单体问题，在统计物理中，将双原子分子绕其质心的转动看作转子。 根据经典力学，在没有外力作用的情形下，转子的总角动量 $\vec L=\vec r\times \vec p$ 是一个守恒量，其大小和方向都不随时间改变。由于 $\vec r$ 垂直于 $\vec L$ ，质点的运动是在垂直于 $\vec L$ 的平面内的运动。如果选择 $z$ 轴平行于 $\vec L$，质点的运动必在 $xy$ 平面内。这相当于固定$\theta=\frac{\pi}{2},p_\theta=0$。 此时粒子能量： $$ \varepsilon=\frac{p_\varphi^2}{2I}=\frac{L^2}{2I} $$ 其中：$L^2=\vec{L}\cdot \vec{L}$ 此时，粒子自由度为 1，即 $\varphi$ 粒子运动状态量子描述 德布罗意波 微观粒子（光子、电子、质子、中子乃至原子、分子等）普遍地具有波粒二象性。 能量为 $\varepsilon$、动量为 $\vec{p}$ 的自由粒子联系着圆频率为 $\omega$ 波矢为 $\vec{k}$ 的平面波，称为德布罗意波。 #德布罗意关系 量子态 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度。 ==线性谐振子能量== #自由度为 1 的线性谐振子能量 ==量子物理==中，圆频率为 $\omega$ 的线性谐振子，其能量的可能值为： $$ \varepsilon_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2}),n=0,1,2,\cdots $$ n 为振子运动状态与能量的量子数，只有一个，即线性谐振子自由度为 1。 显然，$\varepsilon_n$的值是分立的。 能级 分立的能量称为能级。 $\mu$ 空间中能量相等的曲面为==等能面==，等能面间不连续，因此每个等能面称为能级。 #$ mu$空间 转子能量 #双原子分子 在量子物理中，$L^2$的值只能取分立值： $$ L^2=l(l_1)\hbar^2,l=0,1,2,\cdots $$ 对于一定的 $L$ 角动量在其本征方向（取为 $z$ 轴）的投影 $L_z$ 只能取分立值： $$ L_z=m_l\hbar,m_l=-l,-l+1,\cdots,l $$ 显然，$m_l$有$2l+1$个可能取值。 自由度为 2 的转子运动状态由 $l,m_l$ 两个量子数表征。 在经典理论中，运动平面在空间的取向是任意的，而在量子理论中，$m_l$ 只能取上述分立值，称为空间量子化。 故转子能量也分立： $$ \varepsilon_l=\frac{l(l+1)\hbar^2}{2I},l=0,1,2,\cdots $$ 简并度$\omega_l$ $\because$ 观察到：能量只取决于量子数 $l$，量子态取决于 $m_l,l$ 两个量子数 $\therefore$ 能级为$\varepsilon_l$ 的量子态有 $2l+1$ 个 一般地说，如果某一能级的量子状态不止一个，该能级就称为简并的。 如果某一能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。 一个能级有 k 个量子态，则简并度为 k 两个相邻#能级间布满若干#相格，相格的数目为能级的简并度。 自旋角动量 某些基本粒子具有内禀的角动量，称为自旋角动量$S$。 $$ S^2=s(s+1)\hbar^2 $$ $s$：==自旋量子数==。可为整数或半整数，是粒子固有属性，可相加计算。#玻色子与费米子 自旋角动量的状态由自旋角动量的大小（自旋量子数 $s$）及自旋角动量在其本征方向的投影确定。以 $z$ 表示本征方向，$S_z$ 的可能值为 $$ S_z=m_s\hbar,m_s=s,s-1,\cdots,-s $$ 共$2s+1$个。 自由粒子能量 边界条件 为了确定粒子可能的运动状态，需要知道德布罗意波在器壁的边界条件。 通常采用驻波条件或周期性边界条件。 对于一维自由粒子，处于长度为 $L$ 的一维容器中，周期性边界条件要求，粒子可能的运动状态，其德布罗意波波长 $\lambda$ 的整数倍等于容器的长度 $L$。即 $$ L=\left\vert n_x \right\vert\lambda,\left\vert n_x \right\vert=0,1,2,\cdots $$ $n_x$：量子数 $n$ 在 $x$ 方向的投影。对于一维自由粒子，量子数即为 $n_x$。一维自由粒子 波矢量 $k_x$： $$ k_x=\frac{2\pi}{L}n_x,n_x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots $$ 动量 $p_x$： $$ p_x=\frac{2\pi\hbar}{L}n_x,n_x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots $$ 能量 $\varepsilon_{n_x}$ $$ \varepsilon_{n_x}=\frac{p_x^2}{2m}=\frac{2\pi^2\hbar^2}{m}\cdot\frac{n_x^2}{L^2},n_x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots $$三维自由粒子 动量： $$ \begin{cases} p_x=\frac{2\pi\hbar}{L}n_x,n_x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\\ p_y=\frac{2\pi\hbar}{L}n_y,n_y=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\\ p_z=\frac{2\pi\hbar}{L}n_z,n_z=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \end{cases} $$ 能量： $$ \varepsilon=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)=\frac{2\pi^2\hbar^2}{m}\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{L^2} $$ 量子数：$n_x,n_y,n_z$ 共三个，即三个自由度 能级：取决于 $n_x^2+n_y^2+n_z^2$ 系统微观运动状态的描述 微观状态 系统的微观运动状态就是它的力学运动状态。 体现为粒子占据不同能级的不同相格的一种占据方式。 系统 ==只限于讨论由全同和近独立粒子组成的系统== 由全同粒子组成的系统：由具有完全相同的内禀属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。 如自由电子组成的自由电子气体，$^4He$ 原子组成的氦气等。 ^f1b50b 由近独立粒子组成的系统：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用，将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。 如理想气体组成的系统。 ^24ebad $$ E=\sum^{N}_{i=1}\varepsilon_i $$ 其中： $\varepsilon_i$：第 i 个粒子能量 $N$：粒子总数 经典力学描述 在经典物理中，全同粒子 #^f1b50b 是可以分辨的。 确认系统微观运动状态需要确认每个粒子力学运动状态（个体量子态）。 变量数：$2Nr$ $r$：单个粒子自由度 玻色子与费米子 自然界中微观粒子可分为两类，称为玻色子和费米子。 #自旋角动量 费米子 自旋量子数为半整数 如：电子，质子，中子，$\mu$ 子（都为 $\frac{1}{2}$）；$^2H$ 原子，$^3H$ 核（$\frac{3}{2}$）等。 玻色子 自旋量子数为整数 如：光子（1），$\pi$ 介子（0），$^1H$ 原子（1），$^4He$ 原子（4）等。 泡利不相容原理 在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。 分布 每一个能级上的粒子数组成的集合，该集合称为分布。 $$ \{a_l\}=a_1,a_2,\cdots,a_l,\cdots $$ $a_l$：能级 $\varepsilon_l$ 上的粒子数 满足： $$ \sum_la_l=N,\sum_la_l\varepsilon_l=E $$ 一个分布包含大量可能微观状态，一个微观状态对应一个分布。 三种系统 玻尔兹曼系统 由==可分辨==的全同 #^f1b50b近独立粒子#^24ebad 组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻耳兹曼系统。 玻色系统 由玻色子组成的系统，不受泡利不相容原理的约束。 由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个个体量子态的玻色子数目是不受限制的。 费米系统 由费米子组成的系统，遵从泡利（Pauli）不相容原理。 三种统计 玻尔兹曼统计（经典统计） 全同粒子可分辨，每个相格可容纳粒子数不受限制。 玻色统计 全同粒子不可分辨，每个相格可容纳粒子数不受限制。 费米统计 全同粒子不可分辨，每个相格最多容纳一个粒子。 等概率原理 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。 最概然分布 根据等概率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，微观状态数最多的分布出现的概率最大，称为最概然分布。 玻尔兹曼分布 玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为麦克斯韦-玻耳兹曼分布，简称玻耳兹曼分布。 近似等式：$\ln m!=m (\ln m-1),m\gg 1$ 将 $\Omega_{m.B.}$ 简记为 $\Omega$ 玻尔兹曼统计下，该分布包含微观状态最多，微观状态数 $\Omega$ 最大。 $$ a_l=\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}=e^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}\frac{\Delta\omega_l}{h_0^r} $$ 后式为==玻尔兹曼分布经典表达式== $$ N=\sum_la_l=\sum_l\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}=\sum_se^{-\alpha-\beta\varepsilon_s} $$ $$ E=\sum_l\varepsilon_la_l=\sum_l\omega_l\varepsilon_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}=\sum_s\varepsilon_se^{-\alpha-\beta\varepsilon_s} $$ $$ f_s=\frac{a_l}{\omega_l}=e^{-\alpha-\beta\varepsilon_l} $$ $a_l$：能级 $\varepsilon_l$ 最概然粒子数（平均粒子数），应满足条件 $a_l\gg 1$ $\alpha$：拉格朗日乘子 $\beta$：拉格朗日乘子，一般由实验条件确定 $\omega_l$：能级 $\varepsilon_l$ 上的量子态数，即简并度。应满足条件 $\omega_l\gg 1$ $s$：能级 $\varepsilon_l$ 上的一个量子态 $\sum_l$：对量子数 $l$ 求和 $\sum_s$：对所有量子态求和 $f_s$：量子态 $s$ 上的平均粒子数 玻色分布 玻色系统中粒子的最概然分布，称为玻色-爱因斯坦（Einstein）分布，简称玻色分布。 $$ a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}-1} $$ $$ N=\sum_la_l=\sum_l\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}-1} $$ $$ E=\sum_l\varepsilon_la_l=\sum_l\frac{\varepsilon_l\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}-1} $$ $$ F_s=\frac{a_l}{\omega_l}=\frac{1}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}-1} $$ 费米分布 费米系统的最概然分布。 $$ a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}+1} $$ $$ N=\sum_la_l=\sum_l\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}+1} $$ $$ E=\sum_l\varepsilon_la_l=\sum_l\frac{\varepsilon_l\omega_l}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}+1} $$ $$ F_s=\frac{a_l}{\omega_l}=\frac{1}{e^{\alpha+\beta\varepsilon_l}+1} $$ 三种分布关系 若 $\alpha$ 满足条件（#经典极限条件，非简并性条件） $$ e^\alpha \gg 1 $$ 则玻色分布与费米分布式中 $\pm$ 可忽略，两种分布都过渡到玻尔兹曼分布。 此时，对所有 $l$，有 $$ \frac{a_l}{\omega_l}\ll 1 $$ $$ \Omega_{B.E.}\approx\frac{\Omega_{M.B.}}{N!}\approx\Omega_{F.D.} $$ 定域 自然界中有些系统可以看作由定域的粒子组成。 例如，晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动。 这些粒子虽然就其量子本性来说是不可分辨的，但可以根据其位置而加以区分，故可以将==定域粒子==看作可以分辨的粒子。 由定域粒子组成的系统，称为定域系统。 如顺磁性固体和核自旋系统。 定域系统和满足经典极限条件的玻色 (费米) 系统都遵从玻耳兹曼分布。 但他们的微观状态数是不同的。 热力学量的统计表达式 内能 $$ U=\sum_la_l\varepsilon_l=\sum_l\varepsilon_l\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l} $$ 粒子配分函数 简称配分函数 $$ Z_1=\sum_l\omega_le^{-\beta\varepsilon_l}=\sum_se^{-\beta\varepsilon_s} $$ 适用范围：近独立粒子系统，粒子可分辨，每个相格（量子态）可容纳粒子数不受限制。 $$ N=e^{-\alpha}\sum_l\omega_le^{-\beta\varepsilon_l}=e^{-\alpha}Z_1 $$ 由以上三式消去 $\alpha$ 得==内能的统计表达式==： $$ U=-N\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_1 $$ 内能全微分 $$ dU=\sum_la_ld\varepsilon_l+\sum_l\varepsilon_lda_l $$ $\sum_la_ld\varepsilon_l$ ：粒子分布不变时，由于外参量改变导致的能级改变而引起的内能变化，即过程中外界对系统所做的功。 $\sum_l\varepsilon_lda_l$ ：粒子能级不变时，由于粒子分布改变所引起的内能变化，即过程中系统从外界吸收的热量。 在无穷小的准静态过程中，系统从外界吸收的热量等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。 显然，热量没有微观量，是在热现象中所特有的宏观量。 $dQ$ 不是全微分而只是一个无穷小量。 熵 $$ dS=\frac{1}{T}dQ=\frac{1}{T}(dU-Ydy) $$ $$ \beta(dU-Ydy)=Nd(\ln Z_1-\beta\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_1) $$ $\beta$ 是温度的函数，令 $$ \beta=\frac{1}{kT} $$ $$ k=R/N_A $$ $k$：玻尔兹曼常量，$k=1.381\times10^{-23}J\cdot K^{-1}$ $N_A$：阿伏伽德罗常量，$N_A=6.022\times10^{23}mol^{-1}$ $R$：摩尔气体常量，$R=8.314J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$ $$ dS=Nkd(\ln Z_1-\beta\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z_1) $$ 积分得： $$ S=Nk(\ln Z_1-\beta\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z_1) $$ 积分常量选择为 0 。 $$ \ln Z_1=\ln N+\alpha $$ 由玻尔兹曼分布 $$ a_l=\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l} $$ 可得 $$ \alpha+\beta\varepsilon_l=\ln\frac{\omega_l}{\alpha_l} $$ 化简熵得 $$ \begin{align} S&=k(N\ln N+\sum_l(\alpha+\beta\varepsilon_l)a_l)\\ &=k(N\ln N+\sum_la_l\ln \omega_l-\sum_la_l\ln a_l)\\ &=k\ln \Omega \end{align} $$ 玻尔兹曼关系 $$ S=k\ln \Omega $$ 某个宏观状态对应的微观状态数越多，它的混乱度就越大，熵也越大。 对于粒子可分辨系统（定域系统），$\Omega=\Omega_{M.B.}$ 对于满足经典极限条件的玻色（费米）系统，$\Omega=\frac{\Omega_{M.B.}}{N!}$ 自由能 $$ F= \begin{cases} -NkT\ln Z_1,定域系统\\ -NkT\ln Z_1+kT\ln N!,满足经典极限条件的玻色/费米系统 \end{cases} $$ 理想气体物态方程 $$ p=\frac{N}{\beta}\frac{\partial}{\partial V}\ln Z_1=\frac{NkT}{V} $$ 经典极限条件 #三种分布关系 $$ e^\alpha=\frac{Z_1}{N}=\frac{V}{N}(\frac{2\pi mkT}{h^2})^{\frac{3}{2}}\gg 1 $$ $N/V$ 越小，气体越稀薄； 温度 $T$ 越高； 分子质量 $m$ 越大 经典极限条件越容易满足。 另一种表述： $$ n\lambda^3=e^{-\alpha}\ll 1 $$麦克斯韦速度分布律 一般情形下，气体满足经典极限条件。 根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平移运动，导出气体分子的速度分布律。 麦克斯韦速度分布率 $$ f(v_x,x_y,x_z)dv_xdv_ydv_z=n(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac{m}{2kT}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}dv_xdv_ydv_z $$ $f(v_x,x_y,x_z)$ 应满足 $$ f(v_x,x_y,x_z)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(v_x,x_y,x_z)dv_xdv_ydv_z=n $$ $n=\frac{N}{V}$：单位体积内分子数 麦克斯韦速率分布律 以球极坐标体积元 $v^2\sin \theta dv d \theta d \varphi$ 代替直角坐标体积元 $dv_xdv_ydv_z$ ，对 $\theta,\varphi$ 积分得，在单位体积内，速率在 $dv$ 范围内的分子数为 $$ f(v)dv=4\pi n(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac{m}{2kT}v^2}v^2dv $$ 上式称为气体分子速率分布。 $$ f(v)=4\pi n(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{m}{2kT}v^2}v^2dv=n $$ 最概然速率$v_p$ 速率分布函数有一极大值，使速率分布函数取极大值的速率称为最概然速率。 如果把速率分为相等的间隔，$v_p$ 所在的间隔分子数最多。 $$ \frac{d}{dv}(e^{-\frac{m}{2kT}v^2}v^2)=0 $$ $$ v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}} $$ 平均速率 $\overline{v}$：速率 $v$ 平均值 $$ \overline{v}=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\int_{0}^{\infty}ve^{-\frac{m}{2kT}v^2}v^2dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} $$ 方均根速率 $v_s$：$v^2$ 的平均值的平方根 $$ v_s^2=\overline{v_2}=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\int_{0}^{\infty}v^2e^{-\frac{m}{2kT}v^2}v^2dv=\frac{3kT}{m} $$ $$ v_s=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}} $$ $M$：摩尔质量 碰壁数（泄流） 单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数，称为碰壁数。 单位时间从器壁上单位面积空洞逃逸的粒子数，称为泄流。 显然：碰壁数=泄流 $dA$ 是器壁上的一个面积元，法线方向沿 $x$ 轴，以 $d\varGamma dA dt$ 表示在 $dt$ 时间内，碰到 $dA$ 面积，速度在 $dv_xdv_ydv_z$ 范围内的分子数。 $$ d\varGamma dA dt=fv_xdv_xdv_ydv_zdAdt $$ $$ d\varGamma=fv_xdv_xdv_ydv_z $$ 对速度积分， $$ \begin{cases} v_x,0\to \infty\\ v_y,-\infty \to +\infty\\ v_z,-\infty \to +\infty \end{cases} $$ 得 $$ \varGamma=n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}= \frac{1}{4}n\overline{v} $$ 能量均分定理（经典统计） 对于处在温度为 $T$ 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个独立的平方项的平均值等于 $\frac{1}{2}kT$。 单原子分子气体 $$ \varepsilon=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2) $$ 上式有三个平方项，应用能量均分定理得： $$ \overline{\varepsilon}=\frac{3}{2}kT $$ 故单原子分子理想气体内能为 $$ U=\frac{3}{2}NkT $$ $$ C_V=\frac{3}{2}Nk $$ 由热力学公式 $C_p-C_V=Nk$ 求得定压热容： $$ C_p=\frac{5}{2}Nk $$ 绝热系数 $$ \gamma=\frac{C_p}{C_V}=\frac{5}{3}=1.667 $$ #理想气体绝热方程 双原子分子气体 双原子分子能量有五个平方项（分子三个方向动量，两原子间运动可约化为转子，两个自由度，即两个平方项）。 $$ \overline{\varepsilon}=\frac{5}{2}kT $$ $$ U=\frac{5}{2}NkT $$ $$ C_V=\frac{5}{2}Nk $$ $$ C_p=\frac{7}{2}Nk $$ $$ \gamma=\frac{C_p}{C_V}=\frac{7}{5}=1.4 $$ 固体 固体中的原子可以在其平衡位置附近作微振动。 假设各原子的振动是相互独立的简谐振动。 固体原子模型化简为三维线性振子。 原子在一个自由度上的能量为 $$ \varepsilon=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}m\omega^2q^2 $$ 共两个平方项。 一个原子平均能量为 $$ \overline{\varepsilon}=3kT $$ 固体内能为 $$ U=3NkT $$ 定容热容为 $$ C_V=3Nk $$ 实验室通常测量 $C_p$，由热力学公式 $$ C_p-C_V=\frac{TV\alpha^2}{\kappa T} $$ 可求得 $C_V$。 室温和高温下 $C_V$ 符合，低温范围固体热容随温度降低得很快，经典理论不能解释。 #绝对零度不能到达原理 金属 金属中存在自由电子，如果将能量均分定理应用于电子，自由电子的热容与离子振动的热容将具有相同的量级。 实验结果是，在 $3K$ 以上，自由电子的热容与离子振动的热容相比，可以忽略不计。 定域/满足经典极限条件的近独立粒子系统的量子统计 双原子理想气体 理想气体是==非定域系==，由于满足#经典极限条件可用玻耳兹曼分布进行讨论。 在一定近似下，双原子分子运动可分为平动$t$、振动$v$、转动$r$。 $$ \varepsilon=\varepsilon^t+\varepsilon^v+\varepsilon^r $$ $$ \omega=\omega_t+\omega_v+\omega r $$ $$ Z_1=Z_1^t\cdot Z_1^v \cdot Z_1^r $$ $$ U=-N\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z_1=-N\frac{\partial}{\partial \beta}(\ln Z_1^t+\ln Z_1^v+\ln Z_1^r)=U^t+U^v+U^r $$ $$ C_V=C_V^t+C_V^v+C_V^r $$ 平动能量 $$ \begin{cases} Z_1^t=V(\frac{2\pi m}{h^2\beta})^{3/2}\\ U^t=\frac{3N}{2\beta}=\frac{3}{2}NkT\\ C_V^t=\frac{3}{2}Nk \end{cases} $$ 与由经典统计的能量均分定理得到的结果一致。 振动能量与特征温度 $$ \begin{cases} Z_1^v=\frac{e^{-\frac{\beta\hbar\omega}{2}}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\\ U^v=\frac{N\hbar\omega}{2}+\frac{N\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\\ C_V^v=Nk(\frac{\hbar \omega}{kT})^2\cdot \frac{e^{\hbar \omega /kT}}{(e^{\hbar \omega/kT}-1)^2} \end{cases} $$ $U^v$ ： 第一项与温度无关，是 $N$ 个振子的==零点能量==。 第二项是温度为 $T$ 时 $N$ 个振子==热激发能量==。 引入==震动特征温度== $\theta_v$ ，满足 $$ k\theta_v=\hbar\omega $$ 带入上面方程组得 $$ \begin{cases} U_v=\frac{Nk \theta_v}{e^{\frac{\theta_v}{T}}-1}\\ C_V^v=Nk(\frac{\theta_v}{T})^2\frac{e^{\frac{\theta_v}{T}}}{(e^{\frac{\theta_v}{T}}-1)^2} \end{cases} $$ $\because$ ==双原子分子特征温度==是 $10^3K$ 数量级 $\therefore$ 在常温范围内，$T\ll \theta_v$ 。在常温范围，振动自由度对热容的贡献接近于零。 常温范围，双原子分子的振动能级间距 $\hbar \omega$ 远大于 $kT$，由于能级分立，振子必须取得能量 $\hbar \omega$ 才有可能跃迁到激发态。 在 $T \ll \theta_v$ 的情形下，振子取得 $\hbar \omega$ 的热运动能量而跃迁到激发态的概率是极小的。因此平均而言，几乎全部振子都冻结在基态。 当气体温度升高时，它们也几乎不吸收能量（无法向高能级跃迁）。这就是在==常温下振动自由度不参与能量均分==的原因。 在 $T \gg \theta_v$ 的情形下，$C_V^v \to Nk$ （取极限洛必达可证明）。 转动能量 转动能级 $$ \varepsilon^r=\frac{l(l+1)\hbar^2}{2I},l=0,1,2,\cdots $$ 简并度 $$ \omega^r=2l+1 $$ 配分函数 $$ Z_1^r=\sum_{i=0}^\infty(2l+1)e^{-\beta\frac{l(l+1)\hbar^2}{2I}} $$ 转动特征温度 $$ \theta_r=\frac{\hbar^2}{2Ik}<100K $$ $$ Z_1^r=\sum_{i=0}^{\infty}(2l+1)e^{-l(l+1)\frac{\theta_r}{T}} $$ ==常温时== $\frac{\theta_r}{T}\ll 1$ ，积分得 $$ Z_1^r=\frac{2I}{\beta \hbar^2} $$ 由此得 $$ \begin{cases} U^r=NkT\\ C_V^r=Nk \end{cases} $$ 符合经典统计。 异核双原子分子 $$ \begin{cases} Z_1^t=V(\frac{2\pi m}{h_0^2\beta})^{3/2}\\ Z_1^v=\frac{2\pi}{h_0\beta \omega}\\ Z_1^r=\frac{8\pi^2I}{h_0^2\beta} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} C_V^t=\frac{3}{2}Nk\\ C_V^v=Nk\\ C_V^r=Nk \end{cases} $$ 单原子理想气体 熵 ==单原子理想气体== $$ S=Nk(\ln Z_1-\beta\frac{\partial}{\partial \beta})-k \ln N! $$ 用近似式 $\ln N!=N(\ln N-1)$ 化简得 $$ S=\frac{3}{2}Nk \ln T+Nk \ln\frac{V}{N}+\frac{3}{2}Nk[\frac{5}{3}+\ln(\frac{2\pi mk}{h^2})] $$ 上式熵为广延量，且为绝对熵。 蒸汽压方程 萨克-特多鲁特（Sackur-Tetrode）公式 $$ \ln p=-\frac{L}{RT}+\frac{5}{2}\ln T+\frac{5}{2}+\ln[k^5/2(\frac{2\pi m}{h^2})^3/2] $$ 化学势 $$ \begin{align} \mu &=(\frac{\partial F}{\partial N})_{T,V}\\ &=-kT \ln \frac{Z_1}{N}\\ &=kT \ln[\frac{N}{V}(\frac{h^2}{2\pi mkT})^3/2] \end{align} $$ $\because$ 对于理想气体，$\frac{N}{V}(\frac{h^2}{2\pi mkT})^3/2\ll 1$ $\therefore$ ==理想气体化学势为负==。 固体 固体中原子的热运动可以看成 $3N$ 个振子的振动。爱因斯坦假设这 $3N$ 个振子的频率都相同。 以 $\omega$ 表示振子的圆频率，振子的能级为 $$ \varepsilon_n=\hbar \omega(n+\frac{1}{2}),n=0,1,2,\cdots $$ 配分函数 $$ Z_1=\frac{e^{-\frac{\beta\hbar\omega}{2}}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}} $$ 内能 $$ U=-3N \frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z_1=3N \frac{\hbar \omega}{2}+3N\frac{\hbar \omega}{e^{\beta \hbar \omega}-1} $$ 热容 $$ C_V=(\frac{\partial U}{\partial T})_V=3Nk(\frac{\hbar \omega}{kT})^2\frac{e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}}{(e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1)^2} $$ 引入==爱因斯坦特征温度== $\theta_E=\frac{\hbar \omega}{k}$，则热容改写为 $$ C_V=3Nk(\frac{\theta_E}{T})^2\frac{e^{\frac{\theta_E}{T}}}{(e^{\frac{\theta_E}{T}}-1)^2} $$ 当 $T \gg \theta_E$ 时，可以取近似 $e^{\theta_E/T}-1\approx \theta_E/T$，得 $$ C_V=3Nk $$ 和能量均分定理的结果一致。 此时能级间距远小于 $kT$ ，能量量子化效应可忽略。 当 $T \ll \theta_E$ 时，有近似 $e^{\frac{\theta_E}{T}}-1 \approx e^{\frac{\theta_E}{T}}$， $$ C_V=3Nk(\frac{\theta_E}{T})^2e^{-\frac{\theta_E}{T}} $$ $T \to 0$ 时，$C_V \to 0$。 证明了热力学第三定律#推论。 顺磁性固体 玻色/费米系统 #玻色系统，#费米系统。 玻色系统巨配分函数 $$ \varXi=\prod_{l}\varXi_l=\prod_{l}(1-e^{-\alpha-\beta \varepsilon_l})^{-\omega_l} $$ $$ \ln \varXi=-\sum_i \omega_l \ln(1-e^{-\alpha-\beta \varepsilon_l}) $$ 平均粒子数 $$ \overline{N}=\sum_l \frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_l}-1}=-\frac{\partial}{\partial \alpha}\ln \varXi $$ 内能 $$ U=\sum_l \frac{\varepsilon_l \omega_l}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_l}-1}=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln \varXi $$ 费米系统巨配分函数 $$ \varXi=\prod_{l}\varXi_l=\prod_{l}(1+e^{-\alpha-\beta \varepsilon_l})^{\omega_l} $$ $$ \ln \varXi=\sum_i \omega_l \ln(1+e^{-\alpha-\beta \varepsilon_l}) $$ 平均粒子数 $$ \overline{N}=\sum_l \frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_l}+1}=-\frac{\partial}{\partial \alpha}\ln \varXi $$ 内能 $$ U=\sum_l \frac{\varepsilon_l \omega_l}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_l}+1}=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln \varXi $$ 广义力 $$ Y=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial y}\ln \varXi $$ 物态方程 $$ p=\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial V}\ln \varXi $$ 熵 $$ \begin{align} S &=k(\ln \varXi-\alpha \frac{\partial}{\partial \alpha}\ln \varXi-\beta \frac{\partial}{\partial \beta}\ln \varXi)\\ &=k(\ln \varXi+\alpha \overline{N}+\beta U)\\ &=k \ln \Omega \end{align} $$ 巨热力势 #巨热力势 $$ J=U-TS-\overline{N}\mu=-kT \ln \varXi $$ 拉格朗日乘子 $$ \beta=\frac{1}{kT},\alpha=-\frac{\mu}{kT} $$ 玻色-爱因斯坦凝聚 系统性质 考虑由 $N$ 个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为 $T$ 体积为 $V$ 为明确起见，假设粒子的自旋为零。 根据玻色分布，每条能级上粒子数为 $$ a_l=\frac{\omega_l}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_l}-1}=\frac{\omega_l}{e^{\frac{\varepsilon_l-\mu}{kT}}-1} $$ $\because$ 能级上粒子数不能取负值 $\therefore$ 以 $\varepsilon_0$ 表示最低能级，$\varepsilon_0>\mu$ 。 若最低能级为 0，则 $\mu<0$。 化学势 玻色系统化学势小于 0，化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度 $T_C$ 时，$\mu \to 0$ 。 $T_C$ 由下式确定 $$ \frac{2\pi}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^{\infty}\frac{\varepsilon^{1/2d \varepsilon}}{e^{\frac{\varepsilon}{kT_C}}-1}=n $$ $$ T_C=\frac{2\pi}{2.612^{2/3}}\frac{\hbar^2}{mk}n^{3/2} $$ 凝聚现象 $T \le T_C$ 时，聚集在最低能级 $\varepsilon=0$ 上的==粒子数密度==为 $$ n_0(T)=n[1-(\frac{T}{T_C})^{3/2}] $$ 在绝对零度下，粒子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻色子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此在绝对零度下，玻色粒子将全部处在 $\varepsilon=0$ 的最低能级。 上式表明， 在 $T < T_C$ 时，就有宏观量级粒子在最低能级凝聚，这一现象称为==玻色-爱因斯坦凝聚== $$ U=0.770NkT(\frac{T}{T_C})^{3/2} $$ $$ C_V=(\frac{\partial U}{\partial T})_V=\frac{5}{2}\frac{U}{T}=1.925Nk(\frac{T}{T_C})^{3/2} $$ 当 $T=T_C$ 时，$C_V$ 取得最大值 $1.925Nk$ 。 当温度足够高时， $$ C_V=\frac{3}{2}Nk $$ 理想玻色气体出现凝聚的临界条件 $$ n(\frac{h}{\sqrt{2\pi mkT_C}})^3=n \lambda^3 \ge 2.612 $$ $\lambda$ ：原子热波长 光子气体（玻色气体） 根据粒子的观点，可以把空窖内的辐射场看作光子气体。 空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。 根据#德布罗意关系，及光子 $\omega=ck$，得==光子能量动量关系== $$ \varepsilon=cp $$ 光子是玻色子，自旋量子数为 1，达到平衡后遵从玻色分布。 由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在导出玻色分布时只存在 $E$ 是常量的条件而不存在 $N$ 是常量的条件，因而只应引进一个拉格朗日乘子 $\beta$。$\alpha=0$。光子气体统计分布 $$ a_l=\frac{\omega_l}{e^{\beta \omega_l}-1} $$ 热力学势 由 $$ \alpha=-\frac{\mu}{kT}=0 $$ 得光子气体热力学势 $\mu=0$ 。 量子态数 光子的自旋量子数为 1，自旋在动量方向的投影可取 $\pm \hbar$ 两个可能值，相当于左、右圆偏振。考虑到光子自旋有 2 个投影，由#三维自由粒子量子态数中的#能量表征可知， 在体积为 $V$ 的空窖内，在 $p$ 到 $p+dp$ 的动量范围内， 光子的量子态数为 $$ \Omega=\frac{8\pi V}{h^3}p^2dp $$ 在体积为 $V$ 的空窖内，在 $\omega$ 到 $\omega+d \omega$ 的圆频率范围内， 光子的量子态数为 $$ \Omega=\frac{V}{\pi^2c^3}\omega^2d \omega $$ 内能分布函数 在体积为 $V$ 的空窖内，在 $\omega$ 到 $\omega+d \omega$ 的圆频率范围内， 平均光子数 $$ \overline{N}=\frac{V}{\pi^2c^3}\frac{\omega^2d \omega}{e^{\hbar \omega/kT}-1} $$ 辐射场内能 $$ U(\omega,T)d \omega=\overline{N}\hbar \omega=\frac{V}{\pi^2c^3}\frac{\hbar \omega^3}{e^{\hbar \omega/kT}-1}d \omega $$ 瑞利-金斯公式 在 $\frac{\hbar \omega}{kT}\ll 1$ 的低频范围内，$e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}\approx 1+\frac{\hbar \omega}{kT}$ ，上式可近似为 $$ U(\omega,T)d \omega=\frac{V}{\pi^2c^3}\omega^2kTd \omega $$ 上式即为==瑞利-金斯公式==，低频拟合较好而高频发生紫外灾难。 维恩公式 在 $\frac{\hbar \omega}{kT}\gg 1$ 的高频范围内，$e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1\approx e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}$ ，上式可近似为 $$ U(\omega,T)d \omega=\frac{V}{\pi^2c^3}\hbar \omega^3e^{-\frac{\hbar \omega}{kT}}d \omega $$ 上式与维恩公式复合，高频拟合好而低频差。 在体积为 $V$ 的空窖内 平衡辐射内能为 $$ U=\frac{\pi^2k^4}{15c^3\hbar^3}VT^4 $$ 巨配分函数 $$ \ln \varXi=\frac{pi^2V}{45c^3}\frac{1}{(\beta \hbar)^3} $$ 光子气体内能 $$ U=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln \varXi=\frac{\pi^2k^4V}{15c^3\hbar^3}T^4 $$ 与#内能分布函数一致 压强 $$ p=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial V}\ln \varXi=\frac{\pi^2k^4}{45c^3\hbar^3}T^4 $$ 比较上两式有 $$ p=\frac{1}{3}\frac{U}{V} $$ 熵 $$ S=k(\ln \varXi+\beta U)=\frac{4}{45}\frac{\pi^2k^4}{c^3\hbar^3}T^3V $$ $T \to 0$ 时，$S \to 0$，符合 #热力学第三定律 辐射通量密度 由#辐射中求得的#辐射通量密度公式 $$ J_u=\frac{c}{4}\frac{U}{V}=\frac{1}{4}cu $$ 根据#碰壁数（泄流）概念求得光子气体辐射通量密度 $$ J_u=\frac{\pi^2k^4}{60c^2\hbar^3}T^4 $$ 金属中的自由电子气体（费米气体） 金属中的自由电子形成强简并的费米气体。 平均电子数 根据费米分布，温度为 $T$ 时，处在能量为 $\varepsilon$ 的一个量子态上平均电子数为 $$ f=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon-\mu}{kT}}+1} $$ 电子自旋在其动量方向的投影有 2 个可能值，根据#三维自由粒子量子态数中的#能量表征， 在体积 $V$ 内，在 $\varepsilon$ 到 $\varepsilon+d \varepsilon$ 的能量范围内，电子的量子态数为 $$ D(\varepsilon)d\varepsilon=\frac{4\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\varepsilon^{1/2}d\varepsilon $$ 故此范围内平均电子数为 $$ dN=f \cdot D(\varepsilon)d\varepsilon=\frac{4\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\frac{\varepsilon^{1/2}d\varepsilon}{e^{\frac{\varepsilon-\mu}{kT}}+1} $$ 总电子数 对 $d \varepsilon$ 积分得 $$ \frac{4\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^{\infty}\frac{\varepsilon^{1/2}d\varepsilon}{e^{\frac{\varepsilon-\mu}{kT}}+1}=N $$ 在给定电子数 $N$ 、温度 $T$ 和体积 $V$ 时，可根据上式确定化学势 $\mu$ 。 $T=0$ 时系统性质 每个量子态平均电子数 $$ \begin{cases} f=1,\varepsilon<\mu(0)\\ f=0,\varepsilon>\mu(0) \end{cases} $$ 费米能级 零温化学势也称费米能级，$\mu(0)$，即 $T=0$ 时化学势。 由 $$ \frac{4\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^{\mu(0)}\varepsilon^{1/2}d \varepsilon=N $$ 可得 $$ \mu(0)=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2\frac{N}{V})^{2/3} $$ 费米动量 令 $$ \mu(0)=\frac{p_F^2}{2m} $$ 可得 $$ p_F=(3\pi^2n)^{1/3}\hbar $$ 该动量称为==费米动量==。 费米速率 $$ v_F=\frac{p_F}{m} $$ 该速率称为==费米速率==。 费米温度 $$ kT_F=\mu(0) $$ $$ T_F=\frac{\mu(0)}{k} $$ 该温度称为==费米温度==。 电子气体内能 $$ U(0)=\frac{4\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^{\mu(0)}\varepsilon^{3/2}d \varepsilon=\frac{3N}{5}\mu(0) $$ 电子平均能量 $$ u(0)=\frac{U(0)}{N}=\frac{3}{5}\mu(0) $$ 电子气体压强 $$ p(0)=\frac{2}{3}\frac{U(0)}{V}=\frac{2}{5}n \mu(0) $$ 玻色气体与费米气体在 $T=0$ 下比较 与理想玻色气体在绝对零度下粒子全部处于能量、动量为零的状态且压强为零完全不同，费米气体在绝对零度下具有很高的平均能量、动量，并产生很大的压强。
Real Number Foundation Book Report 借着这次数学分析大作业的机会写写实数建立。 实数的建立是数学基础理论的一部分，涉及到许多数学分支，包括数学逻辑、集合论、代数结构等。数学家们通过对这些基本概念和性质的严密推导，构建了实数系统，为数学的发展提供了坚实的基础。这个过程在数学史上经历了漫长的发展，由许多数学家共同贡献。 1. 书籍信息 1.1 Mathematical Analysis 作者： Tom A. Apostol 出版年： 1973 简介：《数学分析》是Tom M. Apostol的经典之作，系统介绍了数学分析的基础知识，包括实数系统、极限、连续性等。作者以清晰的逻辑和深刻的洞察力，帮助读者建立对实数的深刻理解。1.2 实分析与泛函分析(Real analysis and functional analysis) 作者： 匡继昌 出版年： 2002 简介：《实分析与泛函分析》是一本由匡继昌教授编写的高等数学教材，主要介绍了实分析和泛函分析的基本本概念、理论和方法。本书的特点是用集合和映射将传统的实变函数论、测度论和泛函分析三门课课融合为一门新的现代分析基础教程。1.3 实分析与复分析(Real and Complex Analysis) 作者： Walter Rudin 出版年： 2006 简介： 本书是分析领域内的一部经典著作。全书体例优美，实用性很强，列举的实例简明精彩。无论实分析部分还是复分析部分，基本上对所有给出的命题都进行了论证。1.4 Real Analysis 作者： Halsey Royden, Patrick Fitzpatrick 出版年： 2010 简介： 这本书已经成为数学分析学科的经典之一，为数学学生提供了深刻的理论基础。在第五版中，作者进行了重要的更新，包括对测度论、积分论以及度量、拓扑、希尔伯特和巴拿赫空间等现代分析学者应了解的主题的全面涵盖。2. 实数系统 实数系统是数学分析的基石，Apostol在他的书中详细介绍了实数的定义和性质。实数具有完备性和稠密性等重要特征，构成了数学分析的基础。 实数的建立涉及数学的基本概念和系统的构建。实数系统是对实际数量的完整描述，包括整数、有理数和无理数。 2.1 有理数的引入 自然数的引入： 实数系统的起点是自然数，即1, 2, 3, 4, ...。这些数用于计数和排序。 整数的引入： 为了解决减法问题，引入了零和负整数。这样，整数系统包括正整数、零和负整数。 有理数的引入： 尽管整数解决了减法的问题，但在除法运算方面还存在限制。例如，尝试计算 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{7}$ 时，我们发现这样的数并不在整数集合中。因此，引入有理数的概念，使得任意两个整数的比例也属于一个新的数集。有理数系统是对整数系统的扩展，使得任何两个有理数之间都存在一个有理数，目的是弥补整数集合中存在的一些不足。 有理数的性质： 有理数具有一些重要的性质，包括加法、减法、乘法和除法的封闭性。这意味着任意两个有理数的和、差、积和商仍然是有理数。这些性质使得有理数成为一个完备的数系。 2.2 无理数的引入 有理数的局限性： 虽然有理数可以表示绝大多数的数值，但有一些数，例如平方根的值（如$\sqrt{2}$无法被表示为两个整数的比值。尝试表示这些数时，我们发现无法找到整数 $a$ 和 $b$ 使得 $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$。 无理数的定义： 为了弥补有理数无法表示的缺陷，引入了无理数的概念。无理数是不能表示为两个整数之比的数，或者说，无理数是不是有理数的数。 超越无理数： 超越无理数是不能成为任何代数方程的根的无理数。例如，$e$ 和 $\pi$ 都是超越无理数。这些数无法通过有限次代数运算得到。 2.3 实数完备性证明 实数系统是一个完备的系统，即实数轴上的任何无限序列都有一个极限。这一性质使得实数系统在数学分析中具有强大的工具，特别是在处理极限、连续性和收敛性等方面。 证明方法 确界原理 上确界的定义： 上确界的存在： 对于实数集合 $S$，如果存在一个实数 $M$，使得 $M$ 是 $S$ 的上界，而且对于任意小于 $M$ 的实数 $m$，存在 $S$ 中的元素 $s$，使得 $m < s$，则称 $M$ 是 $S$ 的上确界。 例子： 考虑集合 $S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \}$，即 $S$ 包含所有在开区间 $(0, 1)$ 中的实数。这个集合的上确界是1。 实数的完备性： 单调有界序列的极限： 实数系统中的单调有界序列必有极限。设 $\{ a_n \}$ 是一个单调递增有界序列，则存在实数 $L$，使得 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$。 上确界存在性： 任何非空有上界的实数集合必有上确界。对于任何实数集合 $S$，如果 $S$ 非空且有上界，则 $S$ 有上确界。 完备性的证明思路： 实数的完备性可以通过证明上确界存在性来体现。具体而言，可以通过考虑所有有上界的实数集合的上确界，证明存在一个实数集合的上确界是实数轴上的一个数。 证明： 假设 $S$ 是一个非空有上界的实数集合： 构造集合 $M$： 考虑所有 $S$ 的上界组成的集合 $M$，即 $M = \{ M' \mid M' \text{是} S \text{的上界} \}$。 证明 $M$ 的上确界存在： $M$ 非空：因为 $S$ 有上界。 $M$ 有下界：下界为 $\min(S)$。 由实数轴的确界性质，$M$ 有上确界。证明 $M$ 的上确界即为 $S$ 的上确界： 设 $L$ 是 $M$ 的上确界，由 $M$ 的定义，对于任何小于 $L$ 的实数 $m$，存在 $M' \in M$ 使得 $m < M'$。由 $M'$ 是 $S$ 的上界，可知 $m$ 也是 $S$ 的上界。 结论： 因此，对于任何非空有上界的实数集合 $S$，$S$ 必有上确界，从而证明了实数的完备性。 单调有界定理 一个单调递增（或递减）且有界的实数序列必有极限。 假设有一个单调递增有上界的实数序列 $\{a_n\}$，下证它必有极限。 证明： 单调有界定理的前提条件： 序列 $\{a_n\}$ 是单调递增的，即对于所有的 $n$，有 $a_n \leq a_{n+1}$；同时，序列有上界，存在一个实数 $M$，对于所有的 $n$，都有 $a_n \leq M$。 存在上确界： 由于序列有上界，根据实数的确界性质，存在上确界 $L = \sup\{a_n\}$。即 $L$ 是集合 $\{a_n\}$ 的上确界。 证明 $L$ 是序列的极限： 对于任意小的正实数 $\varepsilon > 0$，由上确界的定义，存在某个序列元素 $a_N$，使得 $L - \varepsilon < a_N \leq L$。 由序列的单调性，对于所有 $n \geq N$，有 $L - \varepsilon < a_N \leq a_n \leq L$。 因此，$L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon$ 对于所有 $n \geq N$ 都成立。 由极限的定义，$\lim_{n \to \infty} a_n = L$。 通过单调有界定理，我们证明了任何单调递增有上界（或单调递减有下界）的实数序列都有极限。这一结论是实数完备性的关键，确保了实数轴上的任何非空有上界的数集都有上确界，从而实数轴是完备的。区间套定理 如果对于每一个正整数 $n$，都存在实数区间 $[a_n, b_n]$，使得这些区间满足： $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$（每个区间都包含在前一个区间内）。 那么，存在一个实数 $x$，属于所有的区间，即 $x \in [a_n, b_n]$ 对于所有正整数 $n$ 都成立。证明： 构造区间套： 对于每个正整数 $n$，给定区间 $[a_n, b_n]$。 由条件1，这些区间构成了一个区间套，即 $[a_{n+1}, b_{n+1}]\subseteq [a_n, b_n]$。 使用实数的确界性质： 由于每个区间都是闭区间，根据实数的确界性质，存在实数 $x$，它同时是每个区间的上确界。 设 $x = \lim_{n \to \infty} a_n$，即 $x$ 是每个区间左端点构成的序列的极限。 证明 $x$ 在每个区间中： 由区间套的定义，对于每个正整数 $n$，有 $x \in [a_n, b_n]$。 因此，$x$ 同时属于每个区间。 结论： 综上，存在实数 $x$，它属于所有给定的区间。这证明了区间套定理。 通过区间套定理，我们得知如果对于每一个正整数 (n)，都存在实数区间 $[a_n, b_n]$ 满足给定条件，那么实数轴上存在一个实数 $x$，它同时属于所有的区间。这一结论是实数轴完备性的关键，确保了实数轴上的任何非空区间套都有一个共同的交点，从而实数轴是完备的。 有限覆盖定理 有限覆盖定理（Finite Covering Property）是实数完备性的一部分，也被称为海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）。该定理陈述了实数轴上有界闭区间的重要性质。具体来说，定理表明任何有界闭区间的任何开区间的开集覆盖，都可以通过这些开区间中的有限个来覆盖整个闭区间。 正式陈述如下： 有限覆盖定理： 如果 $[a, b]$ 是实数轴上的一个有界闭区间，且 $\{G_n\}$ 是一组开区间，满足 $[a, b] \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n$（闭区间完全包含在所有开区间的并集中），那么存在一个自然数 $N$，使得 $[a, b] \subseteq \bigcup_{n=1}^{N} G_n$。 有限覆盖定理指出，任何有界闭区间都可以通过该区间上的有限个开区间来覆盖。 聚点定理 每个实数上无穷且有界的子集S都有至少一个聚点。这意味着S中的元素趋近于某个实数。 聚点定理也称 Bolzano-Weierstrass 定理。该定理讨论了有界序列的性质，特别是它确保有界序列至少有一个收敛的子序列。 聚点定理的陈述： 如果实数序列有界，即存在实数 $M$ 和 $N$，使得对于序列中的每个元素 $a_n$，都有 $N \leq a_n \leq M$，那么该序列至少有一个收敛的子序列。 简言之，如果实数序列有界，那么必定存在一个子序列，它在某个实数上收敛。 柯西收敛准则 柯西收敛准则（Cauchy Convergence Criterion）是实数序列收敛性的一个重要准则。该准则基于柯西列的概念，指出如果一个实数序列是柯西列，那么它是收敛的。 柯西收敛准则的陈述： 一个实数序列是收敛的充分必要条件是它是柯西列。 柯西列的定义： 对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，存在一个正整数 $N$，对于所有的 $n, m \geq N$，都有 $|a_n - a_m| < \varepsilon$。 简而言之，柯西列是指序列中的元素随着序号的增加而趋于无穷接近，任何两项之间的差异趋于零。 柯西收敛准则的重要性在于它提供了一种用序列内元素之间的差异来判断序列收敛性的方法。当一个序列满足柯西收敛准则时，我们可以断定该序列是收敛的，即存在一个实数极限。 需要注意的是，柯西收敛准则对于实数序列成立，但在更一般的度量空间（metric space）中，柯西收敛准则仅是收敛的充分条件，不一定是必要条件。 在实数轴上，柯西收敛准则是完备性的一个表现。 2.4 实数的代数结构 实数系统具有一组运算规则，如加法和乘法，它们满足一系列代数结构性质。实数的代数结构对于进行各种数学操作和推导是至关重要的。 加法结构： 实数集合上定义了加法运算，即任意两个实数 $a$ 和 $b$ 相加得到另一个实数 $a + b$。加法运算满足以下性质： 交换性： 对于任意实数 $a$ 和 $b$，有 $a + b = b + a$。 结合性： 对于任意实数 $a$、$b$ 和 $c$，有 $(a + b) + c = a + (b + c)$。 存在零元素： 存在一个实数 0，对于任意实数 $a$，有 $a + 0 = a$。 存在相反元素： 对于任意实数 $a$，存在一个实数 $-a$，使得 $a + (-a) = 0$。 乘法结构： 实数集合上定义了乘法运算，即任意两个实数 $a$ 和 $b$ 相乘得到另一个实数 $a \cdot b$。乘法运算满足以下性质： 交换性： 对于任意实数 $a$ 和 $b$，有 $a \cdot b = b \cdot a$。 结合性： 对于任意实数 $a$、$b$ 和 $c$，有 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。 存在单位元素： 存在一个实数 1，对于任意实数 $a$，有 $a \cdot 1 = a$。 存在倒数： 对于任意非零实数 $a$，存在一个实数 $\frac{1}{a}$，使得 $a \cdot \frac{1}{a} = 1$。 分配律： 乘法对加法的分配律是实数代数结构中一个重要的性质，即对于任意实数 $a$、$b$ 和 $c$，有 $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ 和 $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$。 序关系： 实数集合上定义了大小关系，通常用符号 $<$ 表示。大小关系满足以下性质： 反对称性： 对于任意实数 $a$ 和 $b$，如果 $a < b$，则不可能有 $b < a$。 传递性： 对于任意实数 $a$、$b$ 和 $c$，如果 $a < b$ 且 $b < c$，则必有 $a < c$。 这些代数结构性质使得实数成为一个有序域（Ordered Field），并为实数上的数学分析提供了强大的代数工具。这些结构性质对于解方程、处理不等式、进行数学推导和建立数学理论都具有重要意义。 3. 极限和连续性 极限和连续性是数学分析中的核心概念。通过引入极限的概念，深入浅出地阐述函数的连续性。 3.1 实数的极限： 3.1.1 定义： 给定一个实数序列（或实数函数）$\{a_n\}$，当n趋近于无穷大时，如果存在一个实数L，对于任意小的正实数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，序列中的每一项都与L的距离小于ε，那么我们说这个序列的极限为L，写作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ 。 3.1.2 直观理解： 极限可以理解为序列中的值随着项数的增加逐渐趋近于某个确定的值。例如，考虑序列$a_n = \frac{1}{n}$，当n趋近于无穷大时，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，表示随着n的增加，分数$\frac{1}{n}$的值逐渐趋近于零。 3.1.3 性质： 极限是唯一的：如果一个序列有极限，那么它的极限是唯一的。 有界序列的极限：有界且单调递增（或递减）的序列一定有极限。3.2 实数的连续性： 3.2.1 连续函数的定义： 一个实函数 f(x) 在某一点 (x=a) 处连续，意味着： $f(a)$ 存在。 $\lim_{{x \to a^+}} f(x)$ 存在。 $\lim_{{x \to a^-}} f(x)$ 存在。 $\lim_{{x \to a^+}} f(x) = \lim_{{x \to a^-}} f(x) = f(a)$3.2.2 直观理解： 函数在某一点连续表示图形上没有跳跃、断裂或间断，即曲线没有突变。一个典型的例子是连续函数 $f(x) = x^2$，在整个实数轴上都是连续的。 3.2.3 连续函数的性质： 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。 除非分母为零，否则商函数也是连续的。 复合函数连续性：如果 g(x) 在点 $x=a$ 连续，而 f(x) 在点 $x=g(a)$ 处连续，那么复合函数 $f(g(x))$ 在点 $x=a$ 处也连续。3.3 重要定理： 3.3.1 介值定理： 如果一个函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，那么对于介于 f(a) 和 f(b) 之间的任何值 c，存在某个点 $x_0$ 在 (a, b) 之间，使得 $f(x_0) = c$。 3.3.2 极值定理： 如果一个函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，那么 f(x) 在该区间上至少有一个最大值和一个最小值。 这些概念和定理构成了实数的极限和连续性理论的基础，为理解数学分析中更高级的概念和定理奠定了基础。 4. 对比不同 4.1 Mathematical Analysis： 这本书涵盖了实分析的基本概念，如实数的构造、连续性、极限、导数和积分。 它详细介绍实数的定义和性质，以及实数集合的基本性质。 本书强调一些数学逻辑和集合论的基础知识，以便更好地理解实数的建立过程。 4.2 《实分析与泛函分析》： 它包括更复杂的实数建立方法，例如戴德金分割或基于某些拓扑性质的构造。 此外，它涵盖了泛函分析的一些基本概念。 作者更详细地讨论实数的性质，以及实数集合的测度和积分理论。 4.3 Real and Complex Analysis： 这本书是最全面的，涵盖了实分析和复分析的许多方面。 它详细介绍了测度论。 它还涵盖了复分析的一些基本概念，如复数的性质、全纯函数和调和函数。 强调实数和复数之间的关系，以及它们在数学中的重要性。 4.4 Real Analysis Real Analysis这本书突出实数系统的建立，包括对有理数和无理数的构建以及实数的完备性。 在深入研究极限和连续性方面，着重讨论数列和函数的极限概念，以及导数和积分的基本概念。级数的收敛性、发散性以及求和方法也得到详细考察。 引入了度量空间，辅助理解实数系统和函数空间。 7. 个人体会 通过研读实数建立的相关书籍，我的数学观念得到了显著的拓展。更加深入了解了实数的构建过程，包括从有理数到无理数的引入，以及确界原理等方法的阐释证明。这使我对实数的概念有了更为清晰和深刻的认识，意识到实数的引入是为了弥补有理数的不足，使数学体系更为完备。 在深入学习极限和连续性的过程中，我深感这是一种深邃而富有美感的思想。极限的引入不仅为理解数列和函数的趋势提供了有效的工具，也是实数系统中的核心思想之一。连续性的概念则使得实数轴上函数变化的渐进平滑，这种连续性贯穿于整个数学分析。
留数定理与洛朗级数、高阶导数公式和柯西积分公式之间的关系或联系
1. 留数定理（Residue Theorem）： 留数定理是复变函数理论中的一个关键结果，它建立在留数的概念之上。留数定理的核心思想是，如果在一个包含孤立奇点的闭曲线内，函数在这个曲线上处处解析，那么曲线内的整体积分等于函数在奇点处的留数之和。 2. 洛朗级数（Laurent Series）： 洛朗级数是一种复变函数的展开形式，可以表示为无穷级数的形式，包括正次幂和负次幂。具体而言，一个复函数在一个环形区域内的洛朗级数表示如下： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 其中，$c_n$是系数，而$z_0$是展开点。 3. 高阶导数公式： 复变函数的高阶导数公式和实变函数有些相似，但在复平面上的运算需要注意。如果一个函数在某点解析，那么它在该点处的高阶导数可以通过对幂级数逐项求导得到。 4. 柯西积分公式（Cauchy's Integral Formula）： 柯西积分公式是复分析中的一个基本结果，它建立了解析函数和其在围道上的积分之间的关系。具体而言，如果函数$f(z)$在一个简单闭合曲线内解析，那么对于这个曲线内的任意点$z_0$，有： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$ 其中，$C$是包围$z_0$的简单闭合曲线。 关系和联系： 留数定理与洛朗级数： 留数定理可以用来计算闭合曲线内函数的积分，而洛朗级数展开可以帮助我们理解函数在奇点附近的性质，从而求得留数。 留数定理与高阶导数公式： 留数定理可以通过对函数在奇点处的洛朗级数展开，然后逐项求导，来计算高阶导数。 留数定理与柯西积分公式： 柯西积分公式可以用来计算函数在围道上的积分，而留数定理是柯西积分公式的一种特例，其中围道内只有有限个孤立奇点。 1. 留数定理的洛朗级数证明： 留数定理： 留数定理的表述为： 如果$f(z)$在包含孤立奇点$z_0$的闭曲线内处处解析，那么曲线内的整体积分等于函数在奇点处的留数之和。 洛朗级数展开： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 其中，$c_n$是留数。 证明步骤： 洛朗级数的求解： 通过复变函数的洛朗级数展开，我们有 $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 其中，$c_n$是由留数计算得到的系数。 积分的计算： 对洛朗级数进行积分： $$\oint_C f(z) \, dz = \oint_C \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \right) \, dz$$ 积分与求和次序交换： 由于积分与求和次序可以交换，我们得到： $$\oint_C f(z) \, dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \oint_C c_n (z - z_0)^n \, dz$$ 留数定理的应用： 对于$n \neq -1$，由于$c_n$不含$z^{-1}$，积分结果为零。只有$n = -1$项会贡献非零积分。 $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot c_{-1}$$ 结论： 最终得到留数定理的结论： $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot c_{-1}$$ 2. 留数定理到高阶导数公式的证明： 留数定理： 留数定理的表述为： 如果$f(z)$在包含孤立奇点$z_0$的闭曲线内处处解析，那么曲线内的整体积分等于函数在奇点处的留数之和。 高阶导数公式： 复变函数的高阶导数公式如下： 如果$f(z)$在某点$z_0$处解析，那么它在该点的$n$阶导数可以表示为： $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz$$ 其中，$C$是包围$z_0$的简单闭合曲线。 证明步骤： 留数定理的应用： 根据留数定理，我们知道 $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)$$ 洛朗级数的求解： 类似于前面的讨论，我们可以将$f(z)$在$z_0$处展开为洛朗级数： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 高阶导数的计算： 利用洛朗级数，我们可以计算$f^{(n)}(z_0)$： $$f^{(n)}(z_0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} n(n-1)\ldots(n-k+1) \cdot c_n \cdot (z - z_0)^{n-k}$$ 留数的提取： 我们可以观察到只有$n = -k$时才会贡献非零项，因此 $$f^{(n)}(z_0) = n! \cdot c_{-n}$$ 结论： 将$c_{-n}$代入留数定理的表达式，得到高阶导数公式的形式： $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz$$ 3. 留数定理da柯西积分公式的证明： 留数定理： 留数定理的表述为： 如果$f(z)$在包含孤立奇点$z_0$的闭曲线内处处解析，那么曲线内的整体积分等于函数在奇点处的留数之和。 柯西积分公式： 柯西积分公式表述为： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$ 其中，$C$是包围$z_0$的简单闭合曲线。 证明步骤： 留数定理的应用： 根据留数定理，我们知道 $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)$$ 洛朗级数的求解： 类似于前面的讨论，我们可以将$f(z)$在$z_0$处展开为洛朗级数： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$ 柯西积分公式的形式： 考虑柯西积分公式的形式： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$ 留数的提取： 我们可以观察到$c_{-1}$对应着$1/(z - z_0)$，因此： $$f(z_0) = c_{-1}$$ 结论： 将$c_{-1}$代入柯西积分公式的表达式，得到柯西积分公式： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$
复数 复数的表达形式：$$z = r\cdot e^{i\theta} = r(cos\theta +i\cdot sin\theta)$$ 几种初等函数 指数函数：$e^z = e^x(cosy+isiny)$ $e^z只是expz的缩写，并没有幂的含义$ $|e^z| = e^x,Arg(e^z) = y+2k\pi$ 对数函数：$Lnz =ln|r|+iArgz$ 函数在除去原点和负实轴的$z$平面内解析，且$(Lnz)' = \frac{1}{z}$ 三角函数 $cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ $chz = \frac{e^z+e^{-z}}{2},shz = \frac{e^z-e^{-z}}{2}$解析函数 可导的定义：$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} 极限存在，就称f(z)在z_0可导$$ 解析的定义：$$函数f(z)在z_0及z_0的邻域内处处可导，就称f(z)在z_0处解析$$ 推论：解析函数的和、差、积、商也是解析函数，解析函数的复合也是解析函数。 可导、解析的充要条件：$u(x),v(x)可微$，并且满足柯西-黎曼方程$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$若有一个不满足，则既不可导也不解析。 推论：$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$复变函数的积分 重要公式 $$\oint_{|z-z_0|=r}\frac{1}{(z-z_0)^n}dz=\begin{cases} 2\pi i ,n =1\\ \text 0,\quad n\neq 1 \end{cases} $$ 柯西-古萨基本定理 在解析，单连通的区域内的任意闭合曲线积分值为0，即$$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = 0$$ 复合闭路定理——柯西积分定理向多连通推广 C为解析、多连通区域内的简单闭曲线，$C_1,C_2 \cdots C_n$为C内同向的简单闭曲线，$$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k}f(z)dz $$ 柯西积分公式——将曲线C内部任意一点的值用它边界的值来表示 $f(z)$在区域D内解析，C为D内一条正向简单闭曲线$$2\pi i\cdot f(z_0) = \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0}dx$$ 柯西积分公式的高阶推广——用函数的高阶导数来求积分 $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$级数 幂级数 解析函数的两个性质 解析函数具有任意阶导数 解析函数都一定可以用幂级数来表示 泰勒展开$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$ 求泰勒展开的方法高等数学#函数展开为幂级数洛朗级数 双边幂级数 收敛域是圆环域$R_1<|z-z_0|<R_2$ 洛朗展开:$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,c_n=\frac{1}{2\pi i}\cdot \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$ 推论：当$n$取$-1$时，$c_{-1}\cdot 2\pi i=\oint_Cf(z)dz$ 求洛朗展开的方法 用定义来算出来$c_n$(几乎不用) 运用代数运算、代换等方法，使得洛朗级数变为泰勒级数的形式和收敛域留数 孤立奇点 定义：$f(z)$在$z_0$处不解析，但在$z_0$的某一去心邻域内处处解析 孤立奇点的分类（根据洛朗级数的负幂项） 可去奇点：不含有负幂项 ，因此当$z\to z_0$时$f(z)$的极限为有限数 极点：含有有限个负幂项（若有m个负幂项，则称$z_0$为$f(z)$的m级极点），当$z\to z_0$时$f(z)$的极限为$\infty$. 本性奇点：含有无限个负幂项，$f(z)$的极限不存在 极点和零点的关系 零点的定义：不恒等于零的解析函数$f(z)$,如果能表示成$f(z) = (z-z_0)^m\varphi(z)$,$则称z_0为f(z)的m级零点$. 充要条件是：$f^{(n)}(z_0) = 0,(n<m)\quad f^{(m)}\ne 0$ 如果$z_0为f(z)的m级零点$，$则称z_0为\frac{1}{f(z)}的m级极点$.留数 定义：$$Res[f(z),z_0]=c_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)d_z$$ 留数的计算法则 如果$z_0为f(z)的一级极点$$$Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$ 如果$z_0为f(z)的m级极点$$$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z)$$ 如果$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},且P(z_0)\ne0,Q(z_0) =0,Q'(z_0)\ne0$$$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$ $$Res[f(z),\infty]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2},0]$$
elem是单词element（元素）的缩写，在程序定义中代表某一不确定的类型，也就是抽象的数据类型。 list 定义 由一系列元素按顺序进行排列而成的容器 元素可以是任意类型 元素按确定顺序排列，具有有序性创建列表 先创建空列表实例再添加元素 list() .append()方法>>>wife = list()#实例化 >>>wife.append("西宫硝子") >>>wife.append("樱岛麻衣") >>>wife.append("爱莉希雅") >>>wife ['西宫硝子','樱岛麻衣','爱莉希雅'] 直接定义列表并填充元素 >>> phones = ["Apple", "Huawei", "Xiaomi"] >>> phones ['Apple', 'Huawei', 'Xiaomi'] 查看元素 使用索引 用$[i]$查看第i+1个元素 index()方法 $$name.index(x)$$ 在list name中查找第一个值为x的元素，返回其索引 count()方法 $$name.count(x)$$ 在list name中查看有几个元素为x，返回个数 len()方法 $$name.len()$$ 查找list name中元素总个数，返回个数新增元素 append()方法 $$name.append(x)$$ 向name末尾添加元素x insert()方法 $$name.insert(i,x)$$ 将对象x插入name索引为i处，原来i以及i后面的元素顺位后移 extend()方法 $$name.extend(name2)$$ 将list name2接在list name 后面修改元素 用索引指明元素直接赋值修改 删除元素 pop()方法 $$name.pop()$$ 默认删除list最后一个元素 $$name.pop(i)$$ 删除索引为i的元素，后面的元素顺位前移 remove()方法 $$name.remove(x)$$ 删除第一个值为x的元素，后面的元素顺位前移 clear()方法 $$name.clear()$$ 删除所有元素（清空list） del语句 $$del\ name[a:b]$$ 删除del索引$[a,b)$的元素，包括a不包括b $del\ name[:]$表示清空list $$del\ name[i]$$ 删除索引为i的元素反转列表 reverse()方法 $$name.reverse()$$ 将列表name反转，最后一个元素变为第一个元素以此推类。 切片法>>> nums=[1,2,3,4,5] >>> new_nums=nums[::-1] >>> new_nums [5,4,3,2,1] 原对象nums不变，产生新对象new_nums为反转列表 列表排序 sort()方法 $$name.sort()$$ $$name.sort(cmp=None,key=None,reverse=False)$$ 该方法无返回值，会直接修改原list cmp为可选参数， key指明用元素的哪个参数作为比较权重，只有一个参数，取自比较的可迭代对象 当比较元素elem仅包含一个参数（比如数字或单个字符）时，可省略key参数。 # 获取列表的第二个元素 def takeSecond(elem): return elem[1] # 列表 random = [(2, 2), (3, 4), (4, 1), (1, 3)] 指定第二个元素排序 random.sort(key=takeSecond) 通过函数takeSecond指定比较元组第二个元素（权重） 输出类别 print('排序列表：') print(random) 排序列表： [(4, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 4)] - reverse为排序规则，默认False升序，True为降序 # tuple ## 定义 元组（tuple），由一系列元素按顺序进行排列形成的容器 元组不可变（immutable），列表可变（mutable） ## 创建元组 1. 直接使用$()$将所有元素包围，创建list是使用$[]$ 2. 有时不使用$()$也能创建元组（不建议） 3. 元组推导式 ```python atuple=(i+1 for i in range(31,42)) 当创建的元组仅包含一个对象时，在其后添加逗号$","$ 否则带小括号对象数据类型为对象类型而非元组 创建空元组a=tuple() b=() tuple不允许增删改查 tuple与list转换 tuple->list atuple=(1,'love',3.334,'Y') list(atuple) '''此时atuple仍为tuple类型''' alist=list(atuple) '''alist为list类型''' print(atuple) 输出(1, 'love', 3.334, 'Y') print(alist) 输出[1, 'love', 3.334, 'Y'] list->tuple alist=['I',2,3.1415,'polaris'] atuple=tuple(alist) '''alist仍为list，atuple为tuple''' dict 定义 字典（dict），由一系列键值对（key-value） 组合而成的数据结构。 key必须为可以hash的值，如==字符串==、数值 hash：哈希（散列、杂凑），将任意长度输入通过散列（哈希）算法变换成固定长度输出（散列值）。 hash是一种压缩映射。 value，可以为任意对象创建字典 先创建空字典再添加元素 注意用等号连接标识符与对象（key&value） 此时key为标识符，标识符字符串不用加引号 直接使用大括号$\{\}$ 注意用冒号连接key与value 此时冒号前为key，字符串需要引号 使用dict()函数从键值对序列（如tuple、list）创建dict profile=dict(name='孤筝',age=19,爱好='明月栞那') profile={name:'孤筝',age:19,爱好:'明月栞那'} alist=[('name','孤筝'),('age',19),('爱好','明月栞那')] profile=dict(alist) 此时alist仍为list，profile对象为dict print(profile) 输出{'name':'孤筝','age':19,'爱好':'明月栞那'} 4. 字典推导式 ```python adict={i:i**2 for i in range(2,5)} print(adict) 输出{2:4,3:9,4:16,5:25} 查看元素 使用$$dict[key]$$ dict为字典名，key为键 key不存在时报错KeyValue $dict.get(key[,value])$ dict为字典名，key为键，value为可选参数，初始值 当key不存在时返回设定的value，未设定value返回None ==如果键不存在于字典中，将会添加键并将value设为默认值。==新增元素 $$dict[key]=value$$ key为新增键，value为对应值 修改元素 $$dict[key]=new\_value$$ 删除元素 $dict.pop(key)$ dict为字典名，key为键，字符串需带引号 del函数 $$del\ dict[key]$$ dict为字典名其他重要方法 判断key是否存在 $in,not in$ $dict.has\_key()$函数 存在返回True，否则返回False ==仅在python2 中可使用，python3删除==设置key默认值 先判断key是否在dict中，若不在则赋值 profile = {"name": "王炳明", "age": 27, "公众号": "Python编程时光"} if "gender" not in profile: profile["gender"] = "male" 2. $setdefault()$方法 $$dict.setdefault(key,default=None)$$ default为key不存在时设置的值，默认为None # set ## 定义 集合（set），同数学集合，一个**无序**的**不重复**元素序列。 ==question==：既然无序，那么print set时元素是按照什么顺序，储存时是什么顺序？ ## 创建集合 1. 使用**花括号**创建，$\{\}$内可以有重复元素，但最后set会去重 2. 使用set()方法创建。 ```python aset={1314,'520'} print(aset) 输出： {1314,'520'} bset=set()#创建空集合aset print(bset) 输出： set() cset=set(['I','love','ishimiya']) print(cset) 输出： {'I','love','ishimiya'} 增加元素 $.add()$函数 $$set.add(elem)$$ ==question==：如果elem为原set已有元素会发生什么？ 注意：当添加的元素与set集合中的元素出现重复的时候，不会有任何效果，但是并不报错。 添加的元素必须是不可变类型的，若添加可变类型的元素则会报错。 $.update()$函数 $$set.update(ElemType)$$ ElemType必须为一个序列（string，list，tuple，dict，set等） aset={'朱冰倩'} aset.add('suki') aset.update({'for'}) '''接集合{'for'}''' aset.update([10000]) '''接列表[10000]''' aset.update(('years',)) '''接元组，仅有一个元素时带上逗号''' aset.update({'name':'guzheng','age':19}) '''接字典，仅将key加入set''' print(aset) 输出： {'朱冰倩','suki','for',10000,'years','name','age'} ## 删除元素 1. $.remove()$ ```python aset={'朱冰倩','suki','for',10000,'years','name','age'} aset.remove('name') aset.remove('爱') '''当remove不存在元素时报错''' KeyError: '爱' $.discard()$ 存在元素则移除，不存在也不会报错aset={'朱冰倩','suki','for',10000,'years','age'} aset.discard('age') aset.discard('love') $.pop()$ 从集合中随即删除元素，不可传入任何参数 aset={'朱冰倩','suki','for',10000,'love'} aset.pop() print(aset) 可能输出： {'朱冰倩','suki','for',10000} 4. $.clear()$ 清空集合中元素 $$set.clear()$$ ## 修改元素 因为set中元素无序，所以集合没有索引，无法修改元素，只能增加或删除元素。 ## 查看元素 同上，无索引无法查看元素。 **查看元素数量** $$len(set)$$ 返回集合中元素个数 ## 集合运算 ### 合集 使用$union$函数将两个集合合并并去重，返回合并后集合C $$aset.union(bset)$$ 等价于 $$aset\ |\ bset$$ ### 差集 使用$difference$函数求差集：找出==存在于集合A==但是==不在集合B==中的元素并作为一个新集合C返回。 $$aset.difference(bset)$$ 等价于 $$aset\ -\ bset$$ ### 交集 1. 使用$intersection$函数求交集：找出==同时存在于集合A和B==中的元素并返回集合C。 $$aset.intersection(bset)$$ 或$$bset.intersection(aset)$$ 等价于 $$aset\ \&\ bset$$ $$bset\ \&\ aset$$ 2. 使用$intersection\_update$函数求交集：找出交集并赋给aset，不会返回交集。 $$aset.intersection\_update()$$ 3. 使用$\&$，返回交集不改变aset、bset $$aset\ \&\ bset$$ ### 不重合集 1. $symmetric\_difference$函数，返回不重合集 $$aset.symmetric\_difference(bset)$$ 2. 使用$symmetric\_difference\_update$函数，将不重合集返回aset $$aset.symmetric\_difference\_update(bset)$$ ## others 1. 判断set是否含有某元素，用in $$print(elem\ in\ aset)$$ 2. 判断两set是否有相同元素 $$aset.isdisjoint(bset)$$ 如果有相同元素则返回False 3. 判断bset是否为aset子集 $$bset.issubset(aset)$$ 若**bset为aset子集**则返回True # iterator 迭代器 ## 可迭代对象 可以利用 for 循环的对象，都叫可迭代对象。 ## 可迭代协议 1. **第一种场景**：如果一个对象内部实现了 `__iter__()` 方法 ，并返回一个迭代器实例，那么该对象就是可迭代对象。 1. 对于该场景，`isinstance(my_list,Iterable)`返回True 2. **第二种场景**：假设一个对象没有实现 `__iter__()` ，Python 解释器 `__getitem__()` 方法获取元素，如果可行，那么该对象也是一个可迭代对象。 1. 对于该类可迭代对象，`isinstance(my_list,Iterable)`返回False ## 迭代器对象 当你对一个可迭代对象使用 iter 函数后，它会返回一个迭代器对象，对于迭代器对象，我们可以使用 next 函数，去获取元素，每执行一次，获取一次，等到全部获取完毕，会抛出 StopIteration 提示无元素可取。 ```python alist=['人','生','若','只','如','初','见'] gen=iter(alist) for i in alist: print(next(gen)) 输出： 人 生 若 只 如 初 见 for i in alist: print(i) 输出： 人 生 若 只 如 初 见 可迭代对象与迭代器对象 可迭代对象指整体，如一个list 迭代器对象是iter()函数返回的对象，可对该对象使用next()函数不断获取元素。generator 生成器，是一个可以像迭代器那样使用for循环来获取元素的函数。 生成器创建 列表推导式 alist=[i for i in range(5)] print(alist) 输出： [0,1,2,3,4] ''' 用[]创建列表对象 ''' alist=(i for i in range(5)) print(alist) 输出： 0 ''' 此时alist为生成器对象 ''' ### yield yield与renturn的区别 - 当一个函数运行到 yield 后，函数的运行会暂停，并且会把 yield 后的值返回出去。 - 若 yield 没有接任何值，则返回 None。 - yield 虽然返回了，但是函数并没有结束。再次调用该函数赋值的标识符，函数继续运行。 ```python def generator(): top=5 i=0 while i<top: print('当前值为：'+str(i)) i+=1 yield i raise StopIteration gen=generator() for i in range(6): print(next(gen))