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数字信号处理（持续更新）
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date: 2024-09-04T23:44:00+08:00
description: 数字信号处理基本概念 信号分类 连续信号：即模拟信号，时域连续信号。 时域离散信号：幅度取值连续，时间取值离散。 幅度离散信号：幅度取值离散，时间取值连续。 数字信号：幅度和时间都取离散值。 区别 时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差。 数字信号处理实现方法 数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。 软件实现 按原理和算法，编写程序在通用计算机实现。 优点：灵活 缺点：运算速度慢，难以达到实时处理效果。 适合算法研究和仿真。 硬件实现 按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法器、延时器、控制器、存储器以及输人输出接口等基本部件实现。 优点：运算速度快，可实时处理 缺点：不灵活 硬件实现指的是选用合适的 DSP 芯片，配有适合芯片语言及任务要求的软件，实现某种信号处理功能的一种方法。 专用芯片 采用专用的 数字信号处理芯片（DSP 芯片） 是目前发展最快、应用最广的一种方法。因为 DSP 芯片比通用单片机有更为突出的优点，它结合了数字信号处理的特点，内部配有乘法器和累加器，结构上采用了流水线工作方式以及并行结构、多总线，且配有适合数字信号处理的指令，是一类可实现高速运算的微处理器。 对于更高速的实时系统，DSP 的速度也不满足要求时，应采用可编程超大规模器件（FPGA）或开发专用芯片来实现。 数字信号处理特点 相比于模拟信号处理，数字信号处理具有以下特点： 灵活性 高精度和高稳定性 便于大规模集成 可以实现模拟系统无法实现的诸多功能，如储存、复杂变换和运算。 信号维度 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。 如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。 时域离散信号与系统 时域离散信号 实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。 模拟信号 $x_a(t)$ ，离散时间点 $t_n$ 。 均匀采样（等间隔采样）时，采样间隔 $T$ ，$t_n=nT$ $$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT),- \infty<n<\infty $$ $x(n)$ 称为时域离散信号，$n$ 取整数，得到序列 $$ x(n)=\{\cdots ,x_a(-2T),x_a(-T),x_a(0),x_a(T),x_a(2T),\cdots \} $$ 时域离散信号也称序列。 序列表示方法 集合符号 数的集合用集合符号 $\{\cdot \}$ 表示，时域离散信号可表示为有序的数的集合。 集合中有下划线的元素表示 $n=0$ 时刻的采样值。 公式表示 Example: $$ x(n)=a^{|n|},0<a<1,-\infty<n<\infty $$ 图形表示 横坐标为 $n$ ，纵坐标为 $x$ 的值，竖线顶端加黑点。 常用典型序列 单位脉冲序列 $\delta(n)$ $$ \delta(n)= \begin{cases} 1 & n=0\\ 0 & n \ne 0\\ \end{cases} $$ 也称单位采样序列，不同于单位冲激信号 $\delta(t)$ 。 单位阶跃序列 $u(n)$ $$ u(n)= \begin{cases} 1 & n \ge 0\\ 0 & n < 0\\ \end{cases} $$ $$ \delta(n)=u(n)-u(n-1) $$ $$ u(n)=\sum^{\infty}_{k=0}\delta(n-k) $$ 矩形序列 $R_N(n)$ $$ R_N(n)= \begin{cases} 1 & 0 \le n \le N-1\\ 0 & Others \end{cases} $$ $N$ 称为矩形序列长度，矩形序列可用单位阶跃序列表示。 $$ R_N(n)=u(n)-u(n-N) $$ 实指数序列 $$ x(n)=a^n u(n),a 为实数 $$ $|a|<1$ 时称 $x(n)$ 为收敛序列 $|a|>1$ 时称 $x(n)$ 为发散序列 正弦序列 $$ x(n)=\sin (\omega n) $$ $\omega$ 称为正弦序列的数字域频率（数字频率），单位为弧度 $rad$ ，表示序列变化速率（相邻两个序列值之间相位变化的弧度数）。 模拟角频率 $\varOmega$，若正弦序列由模拟信号 $x_a(t)=\sin (\varOmega t)$ 采样得到 $$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=\sin (\varOmega nT)=\sin (\omega n) $$ 则得到数字频率与模拟角频率的关系 $$ \omega=\varOmega T $$ 采样频率 $F_s=\frac{1}{T}$ ，因此 $$ \omega=\frac{\…

空气动力学基础（持续更新）
type: item
date: 2024-09-02T22:13:00+08:00
description: 流体静力学基础 气体性质 压缩性 体积弹性模数 定义：产生单位相对体积变化所需压强增高 $$ E=-\frac{dp}{dV/V} $$ 对于一定质量气体，体积与密度成反比例关系，即 $$ \frac{d \rho}{\rho}=-\frac{dV}{V} $$ 回代得 $$ E=\rho \frac{dp}{d \rho} $$ 常温下水的体积弹性模数：$2.1 \times 10^9N/m^2$ 通常情况下水可视为不可压缩流体。 粘性 牛顿粘性定律 流体运动所产生的摩擦阻力与接触面积成正比 $$ \tau =\mu \frac{du}{d \vec{n}} $$ $\tau$ ：摩阻应力，单位面积上的摩擦阻力 $\vec{n}$ ：接触面法线方向 $\mu$ ：比例常数，称为流体的粘性系数，单位为 $N \cdot s/m^2$ $\frac{du}{d \vec{n}}$ ：速度梯度 不同流体介质粘性系数值各不相同，并且粘性系数随温度变化，与压强基本无关。 气体粘性系数随温度升高而增大。 萨特兰公式 空气粘性系数随温度变化关系，近似公式之一萨特兰公式 $$ \frac{\mu}{\mu_0}=(\frac{T}{288.15})^{1.5}\frac{288.15+C}{T+C} $$ $\mu_0$ ：温度为 $288.15K$ 时空气粘性系数 $C$ ：常数，值为 $110.4K$ 运动粘性系数 $$ \nu=\frac{\mu}{\rho} $$ $\nu$ ：运动粘性系数，单位为 $m^2/s$ $\mu$ ：粘性系数 $\rho$ ：密度 传热性 定义：当气体中沿某一方向存在温度梯度时，热量就会由温度高的地方传向温度低的地方，这种性质称为气体的传热性。 单位时间内所传递热量与传热面积成正比，与沿热流方向的温度梯度成正比，即 $$ q=-\lambda \frac{\partial T}{\partial \vec{n}} $$ $q$ ：单位时间通过单位面积热量，单位 $kJ/(m^2 \cdot s)$ $\frac{\partial T}{\partial \vec{n}}$ ：温度梯度，单位为 $K/m$ $\lambda$ ：导热系数，单位为 $kJ/(m \cdot K \cdot s)$ 负号表示热量传递方向永远与温度梯度方向相反。 流体分类 连续介质假设 理想流体 不考虑粘性，在这种模型中，流体微团不承受粘性力作用。常用于气体。 忽略粘性的气体称为理想气体。 压强各向同性 理想流体内一点处的压强与受压面的方位无关，它仅是空间坐标的连续函数。 不可压流体 不考虑气体压缩性或弹性，可认为体积弹性模数无穷大，或流体密度为常数。常用于液体。 求解不可压流体的流动规律，只需要服从力学定律，不需要考虑热力学关系。 对流速较低的气体，也可按不可压流体处理流动问题。 绝热流体 不考虑流体传热性的模型，即把流体热导系数看作零。低速流动的空气一般热导系数值很小，可视为绝热。 不考虑气体微团之间热传导作用的气体模型称之为绝热气体。 完全气体 任何状态下，气体的压强、密度和温度之间都存在一定的函数关系 $$ p=p(\rho,T) $$ 完全气体的状态方程 $$ p=\frac{\overline{R}}{m}\rho T $$ $\overline{R}$ ：普适气体常数，$8315m^2/(s^2 \cdot K)$ $m$ ：某种气体相对分子质量 $R=\frac{\overline{R}}{m}$ 时， $$ p=\rho R T $$ $R$ 为气体常数，空气约为 $287.035m^2/(s^2 \cdot K)$ 流体微团受力 压力 切应力（摩擦力） 彻体力 重力 电磁力 离心力 静平衡方程 在==静止流体==中取一点 $P$，压强为 $p$ 构建笛卡尔坐标系，流体内各点处压强为 $$ p(x,y,z) $$ 以 $P$ 为中心构建各边平行于坐标轴的长方体，边长为 $dx,dy,dz$ 观察 $x$ 轴方向，两面受压力大小分别为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)+(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\partial x})(\frac{dx}{2})]dx dy $$ 流体微团 $x$ 轴方向受彻体力为 $$ f_x \rho dx dy dz $$ $f_x$ 为单位质量上所受彻体力在 $x$ 轴方向分力。 因为是静止流体，流体微团受力平衡。 $x$ 轴方向力平衡方程为 $$ [p(x_0,y_0,z_0)-(\frac{\partial p}{\par…

热力学与统计物理
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date: 2024-06-06T00:00:00+08:00
description: 物理量 内能 U $$ \Delta U=Q+W $$ Q为系统吸热，W为系统对外做功 熵 S 熵是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数，也就是当总体的熵增加，其做功能力也下降，熵的量度正是能量退化的指标。 ==可逆过程==中 $$ \Delta S=\frac {Q}{T} $$ Q：在一个可逆过程中，系统在恒温情况下吸热 焓 H $$ H=U+pV $$ 自由能 F $$ F=U-TS $$ 系统内能-不能做工的能量=能做工的能量（自由能） 吉布斯函数（自由焓）G $$ G=F+pV=U-TS+pV=H-TS $$ 化学势 $\mu$ $$ \mu=(\frac{\partial G}{\partial n})_{T,p}=G_m $$ 其中： n：物质的量（$mol$） $G_m$：摩尔吉布斯函数 方程 状态函数全微分 (可逆过程) 内能全微分（热力学基本方程） $$ dU=dQ+dW=TdS-pdV $$ 即$U=U(S,V)$ $$ (\frac{\partial U}{\partial S})_V=T,(\frac{\partial U}{\partial V})_S=-p $$ $\because$ U二阶偏导相等 $\therefore$ 得到第一麦氏关系： $$ (\frac{\partial T}{\partial V})_S=-(\frac{\partial p}{\partial S})_V $$ 焓全微分 $$ dH=dU+d(pV)=TdS-pdV+pdV+Vdp=TdS+Vdp $$ 自由能全微分 $$ dF=-SdT-pdV $$ 吉布斯函数全微分 $$ dG=-SdT+Vdp $$ 熵全微分 $$ dS=\frac{dU+pdV}{T} $$ 麦氏关系 麦氏关系（Maxwell Relations）是在热力学中描述状态变量之间关系的重要方程。 以下是四个麦氏关系： 第一麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_S = - \left ( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_V $$ 第二麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_S = \left ( \frac{\partial V}{\partial S} \right)_P $$ 第三麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \left ( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V $$ 第四麦氏关系: $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T = -\left ( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P $$ 推论： $$ C_p-C_V=T(\frac{\partial p}{\partial T})_V(\frac{\partial V}{\partial T})_p $$ 对于理想气体$pV=nRT$ 带入得 $$ C_p-C_V=nR,为常数 $$ 物态方程 定义：温度与状态参量之间的函数关系方程。 $$ f(p,V,T)=0 $$ 理想气体物态方程 $$ pV=nRT=NkT $$ n：物质的量 R：气体常数 N：系统总粒子数 k：玻尔兹曼常数范德瓦尔兹方程 $$ (p+\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT $$ a、b为常数常见系数 体胀系数$\alpha$ $$ \alpha=\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial T})_p=\frac{1}{T},理想气体 $$ 压强系数$\beta$ $$ \beta=\frac{1}{V}(\frac{\partial p}{\partial T})_V=\frac{1}{T},理想气体 $$ 等温压缩系数$\kappa_T$ $$ \kappa_T=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial P})_T=\frac{1}{p},理想气体 $$ 热容C $$ C=\lim_{\Delta T \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta T} $$ 定容热容$C_V$ $$ C_V=(\frac{\partial U}{\partial T})_V=T(\frac{\partial S}{\partial T})_V $$ 定压热容$C_p$ $$ C_p=(\frac{\partial H}{…